Неравенство Мюрхеда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Неравенство Мюрхеда позволяет сравнивать значения некоторых симметрических многочленов на одном и том же наборе неотрицательных значений аргументов.

Вводные определения[править | править вики-текст]

Пусть \alpha = (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)упорядоченный набор целых неотрицательных чисел \alpha_1\leqslant \alpha_2\leqslant \dots\leqslant \alpha_n. Через T_\alpha (x_1,x_2,\dots,x_n) будем обозначать симметрический многочлен от n переменных, который есть по определению сумма одночленов вида  x_{\pi(1)}^{\alpha_1} x_{\pi(2)}^{\alpha_2} \cdots x_{\pi(n)}^{\alpha_n} по всем перестановкам \pi порядка n.

Неравенство Мюрхеда[править | править вики-текст]

Пусть \displaystyle \alpha = (\displaystyle \alpha_{1}^{},...,\displaystyle \alpha_{n}^{}) и  \displaystyle \beta = (\displaystyle \beta_{1}^{},...,\displaystyle \beta_{n}^{}) — два набора показателей с равной суммой. Если \alpha \succ \beta, то при всех неотрицательных x_1,...,x_n выполняется неравенство

 T_\alpha(x_1,..., x_n) \displaystyle \geqslant T_\beta(x_1,..., x_n).

Ссылки[править | править вики-текст]