Неравенство Чебышева

В Википедии существует другое неравенство, носящее имя Чебышева — см. Неравенство Чебышева для сумм.

Нера́венство Чебышева, известное также как неравенство Биенэме — Чебышева, это распространённое неравенство из теории меры и теории вероятностей. Оно было первый раз получено Биенэме (фран.) в 1853 году, и позже также Чебышевым. Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.

Неравенство Чебышева в теории меры

Неравенство Чебышева в теории меры описывает взаимосвязь интеграла Лебега и меры. Аналог этого неравенства в теории вероятностей — неравенство Маркова. Неравенство Чебышева также используется для доказательства вложения пространства $L_p$ в слабое пространство $L_p$.

Формулировки

• Пусть $(X,\;\mathcal{F},\;\mu)$ — пространство с мерой. Пусть также
  • $A\in\mathcal{F}$
  • $\phi(x)\geqslant 0$ — суммируемая на $A$ функция
  • $c>0$.

Тогда справедливо неравенство:

$\mu\bigl(\{x:x\in A,\phi(x)\geqslant c\}\bigr)\leqslant\frac{1}{c}\int\limits_A\phi(x)\mu(dx)$.

• В более общем виде:

Если $g$ — неотрицательная вещественная измеримая функция, неубывающая на области определения $\phi$, то

$\mu\bigl(\{x\in A\,:\,\,\phi(x)\geqslant t\}\bigr) \leqslant {1\over g(t)} \int_A g\circ \phi\, \mu(dx).$

• В терминах пространства $L_p$:

Пусть $\phi(x)\in L_p$. Тогда $\mu\Bigl(\bigl\{x\in A\,\big|\, |\phi(x)| > t\bigr\}\Bigr)\leqslant \frac{\|\phi\|_p^p}{t^p}.$

Неравенство Чебышева может быть получено, как следствие из неравенства Маркова.

Неравенство Чебышева в теории вероятностей

Неравенство Чебышева в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. Говоря более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего. Неравенство Чебышева является следствием неравенства Маркова.

Формулировки

Пусть случайная величина $X\colon\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ определена на вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$, а её математическое ожидание $\mu$ и дисперсия $\sigma^2$ конечны. Тогда

$\mathbb{P}\left(|X-\mu|\geqslant a\right) \leqslant \frac{\sigma^2}{a^2}$,

где $a>0$.

Если $a = k \sigma$, где $\sigma$ — стандартное отклонение и $k > 0$, то получаем

$\mathbb{P}\left(|X-\mu|\geqslant k \sigma \right) \leqslant \frac{1}{k^2}$.

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на $2$ стандартных отклонения, с вероятностью меньше $25%$. Она отклоняется от среднего на $3$ стандартных отклонения с вероятностью меньше $11,2%$.

Для важнейшего случая одномодальных распределений неравенство Высочанского-Петунина существенно усиливает неравенство Чебышева, включая в себя дробь 4/9. Таким образом граница на $3$ стандартных отклонения, включает "почти все" (т.е. 99.73%) значения случайной величины.

См. также

• Неравенство Маркова
• Неравенство Чебышева для сумм
• Неравенство Высочанского-Петунина

Ссылки

• Видеолекция о случайных величинах, неравенствах Маркова и Чебышева

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.