Неравенство Чебышёва

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Неравенство Чебышева»)
Перейти к: навигация, поиск
В Википедии существует другое неравенство, носящее имя Чебышёва — см. Неравенство Чебышёва для сумм.

Нера́венство Чебышёва, известное также как неравенство Биенэме — Чебышёва, это распространённое неравенство из теории меры и теории вероятностей. Оно было первый раз получено Бьенеме в 1853 году, и позже также Чебышёвым. Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.

Неравенство Чебышёва в теории меры[править | править вики-текст]

Неравенство Чебышёва в теории меры описывает взаимосвязь интеграла Лебега и меры. Аналог этого неравенства в теории вероятностей — неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва также используется для доказательства вложения пространства L_p в слабое пространство L_p.

Формулировки[править | править вики-текст]

Тогда справедливо неравенство:
\mu\bigl(\{x:x\in A,\phi(x)\geqslant c\}\bigr)\leqslant\frac{1}{c}\int\limits_A\phi(x)\mu(dx).
  • В более общем виде:
Если g — неотрицательная вещественная измеримая функция, неубывающая на области определения \phi, то
\mu\bigl(\{x\in A\,:\,\,\phi(x)\geqslant t\}\bigr) \leqslant {1\over g(t)} \int_A g\circ \phi\, \mu(dx).
  • В терминах пространства L_p:
Пусть \phi(x)\in L_p. Тогда \mu\Bigl(\bigl\{x\in A\,\big|\, |\phi(x)| > t\bigr\}\Bigr)\leqslant \frac{\|\phi\|_p^p}{t^p}.

Неравенство Чебышёва может быть получено, как следствие из неравенства Маркова.

Неравенство Чебышёва в теории вероятностей[править | править вики-текст]

Неравенство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. Говоря более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего. Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

Формулировки[править | править вики-текст]

Пусть случайная величина X\colon\Omega \rightarrow \mathbb{R} определена на вероятностном пространстве (\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P}), а её математическое ожидание \mu и дисперсия \sigma^2 конечны. Тогда

\mathbb{P}\left(|X-\mu|\geqslant a\right) \leqslant \frac{\sigma^2}{a^2},

где a>0.

Если a = k \sigma, где \sigma — стандартное отклонение и k > 0, то получаем

\mathbb{P}\left(|X-\mu|\geqslant k \sigma \right) \leqslant \frac{1}{k^2}.

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на 2 стандартных отклонения, с вероятностью меньше 25%. Она отклоняется от среднего на 3 стандартных отклонения с вероятностью меньше 11{,}2\,%.

Для важнейшего случая одномодальных распределений Неравенство Высочанского — Петунина существенно усиливает неравенство Чебышёва, включая в себя дробь 4/9. Таким образом граница на 3 стандартных отклонения, включает «почти все» (т. е. 95{,}06\,%) значения случайной величины.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Ссылки[править | править вики-текст]