Неравенство Чебышёва для сумм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Неравенство Чебышева для сумм»)
Перейти к: навигация, поиск
В теории меры и теории вероятностей существует другое неравенство, носящее имя Чебышёва — см. Неравенство Чебышёва.

Неравенство Чебышёва для сумм, носящее имя Пафнутия Львовича Чебышёва, утверждает, что если

a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n

и

b_1 \geqslant b_2 \geqslant \cdots \geqslant b_n,

то

{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \geqslant \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).

Аналогично, если

a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n

и

b_1 \leqslant b_2 \leqslant \cdots \leqslant b_n,

то

{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \leqslant \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).

Доказательство[править | править исходный текст]

Неравенство Чебышёва для сумм легко выводится из перестановочного неравенства:

Предположим, что

a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n \,

и

b_1 \geqslant b_2 \geqslant \cdots \geqslant b_n. \,

В виду перестановочного неравенства выражение

a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \,

является максимально возможным значением скалярного произведения рассматриваемых последовательностей. Суммируя неравенства

a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \,
a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geqslant a_1 b_2 + a_2 b_3 + \cdots + a_n b_1 \,
a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geqslant a_1 b_3 + a_2 b_4 + \cdots + a_n b_2 \,
\vdots \,
a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geqslant a_1 b_n + a_2 b_1 + \cdots + a_n b_{n-1} \,

получаем

n (a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n) \geqslant (a_1 + \cdots + a_n) (b_1 + \cdots + b_n);

или, разделив на n^2:

\frac {(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)} {n} \geqslant \frac {(a_1 + \cdots + a_n)}{n} \cdot \frac {(b_1 + \cdots + b_n)}{n}.

Непрерывный случай[править | править исходный текст]

Существует также непрерывный аналог неравенства Чебышёва для сумм:

Если f(x) и g(x) — это вещественные интегрируемые на [0,1] функции, возрастающие или убывающие одновременно, то

 \int\limits_0^1 f(x)g(x)\,dx \geqslant \int\limits_0^1 f(x)\,dx \int\limits_0^1 g(x)\,dx.\,