Неравенство Юнга

Нера́венство Ю́нга в математике — элементарное неравенство, используемое в доказательстве неравенства Гёльдера. Является частным случаем более общего неравенства Юнга — Фенхеля.

Формулировка

Пусть $a,b \ge 0$ и $p,q >\!\ 1$ — сопряженные показатели (то есть такие числа, что $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$). Тогда

$ab \leqslant \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$.

Доказательство

Для $a=0$ или $b=0$ неравенство очевидно. Для $a>0$, $b>0$ неравенство следует из выпуклости логарифмической функции: для любых $x_1$, $x_2>0$

$\ln(\alpha x_1 + \beta x_2) \geqslant \alpha \ln x_1 + \beta \ln x_2, ~~~ \mathcal{8} \alpha, \beta \ge 0, \alpha + \beta = 1$.

Положив в этом неравенстве $\alpha = p^{-1}, ~ \beta = q^{-1}, ~ x_1 = a, ~ x_2 = b,$ получим, что

$\ln \left(\frac{a}{p} + \frac{b}{q}\right) \ge \frac{\ln a}{p}+\frac{\ln b}{q}=\ln (a^{\frac{1}{p}} b^{\frac{1}{q}}))$,

которое равносильно неравенству Юнга.

Альтернативный вариант

Доказательство, как частный случай неравенства Юнга-Фенхеля. Для скалярной функции неравенство Юнга-Фенхеля записывается в виде:

$f(x) + f^\star(y)\ge y \cdot x$,

где $f^\star(y) = \mathrm{max}_x(xy-f(x))$ есть преобразование Лежандра от функции $f(x)$. Если положить $f(x)=x^p/p$, то преобразование Лежандра в точке $\bar y=\bar x^{p-1}$ даёт

$f^\star(\bar y)=\bar x \bar y-\bar x^p/p=\bar y^q/q$,

где $1/q=1-1/p$. Подставляя полученное в исходное неравенство получаем искомый результат.

Замечание

Равенство достигается в том и только том случае, когда $a^p = b^q$.

См. также

• Неравенство Гёльдера.
• Преобразование Лежандра.