Неравенство Юнга
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Нера́венство Ю́нга в математике — элементарное неравенство, используемое в доказательстве неравенства Гёльдера. Является частным случаем более обшего неравенства Юнга — Фенхеля.
Содержание |
[править] Формулировка
Пусть 
и 
- сопряженные показатели (т.е. такие числа, что 
). Тогда
.
[править] Доказательство
Для a = 0 или b = 0 неравенство очевидно. Для a > 0, b > 0 неравенство следует из выпуклости логарифмической функции: для любых x1, x2 > 0
.
Положив в этом неравенстве 
получим, что
,
которое равносильно неравенству Юнга.
[править] Альтернативный вариант
Доказательство, как частный случай неравенства Юнга-Фенхеля. Для скалярной функции неравенство Юнга-Фенхеля записывается в виде:
,
где 
есть преобразавание Лежандра от функции f(x). Если положить f(x) = xp / p, то преобразование Лежандра в точке 
даёт
,
где 1 / q = 1 − 1 / p. Подставляя полученное в исходное неравенство получаем искомый результат.
[править] Замечание
Равенство достигается в том случае, когда ap = bq.
