Неравенство Юнга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нера́венство Ю́нга в математике — элементарное неравенство, используемое в доказательстве неравенства Гёльдера. Является частным случаем более общего неравенства Юнга — Фенхеля.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть a,b \ge 0 и p,q >\!\ 1 — сопряженные показатели (то есть такие числа, что \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1). Тогда

ab \leqslant \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.

Доказательство[править | править вики-текст]

Для a=0 или b=0 неравенство очевидно. Для a>0, b>0 неравенство следует из выпуклости вверх (это свойство называется также вогнутостью) логарифмической функции: для любых x_1, x_2>0

\ln(\alpha x_1 + \beta x_2) \geqslant \alpha \ln x_1 + \beta \ln x_2, ~~~ \mathcal{8} \alpha, \beta \ge 0, \alpha + \beta = 1.

Положив в этом неравенстве  \alpha = p^{-1}, ~ \beta = q^{-1}, ~ x_1 = a, ~ x_2 = b, получим, что

\ln \left(\frac{a}{p} + \frac{b}{q}\right) \ge \frac{\ln a}{p}+\frac{\ln b}{q}=\ln (a^{\frac{1}{p}} b^{\frac{1}{q}})),

которое равносильно неравенству Юнга.

Альтернативный вариант[править | править вики-текст]

Доказательство, как частный случай неравенства Юнга-Фенхеля. Для скалярной функции неравенство Юнга-Фенхеля записывается в виде:

f(x) + f^\star(y)\ge y \cdot x,

где f^\star(y) = \mathrm{max}_x(xy-f(x)) есть преобразование Лежандра от функции f(x). Если положить f(x)=x^p/p, то преобразование Лежандра в точке \bar y=\bar x^{p-1} даёт

f^\star(\bar y)=\bar x \bar y-\bar x^p/p=\bar y^q/q,

где 1/q=1-1/p. Подставляя полученное в исходное неравенство получаем искомый результат.

Замечание[править | править вики-текст]

Равенство достигается в том и только том случае, когда a^p = b^q.

См. также[править | править вики-текст]