Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Неравенство Коши (неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом) Для любых неотрицательных чисел x_1,x_2,\dots,x_n верно неравенство:

\bar{x}_\mathrm{arithm} \ge \bar{x}_\mathrm{geom},

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда x_1=x_2=\dots=x_n.

Выражение

\bar{x}_\mathrm{arithm} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n{x_i} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}

называется средним арифметическим, а

\bar{x}_\mathrm{geom} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} = \sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}

средним геометрическим чисел x_1,x_2,\dots,x_n.

[править] Связанные результаты

  • Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим является частным случаем неравенства о средних.

[править] История

Одно из доказательств этого неравенства было опубликовано Коши в его учебнике по математическому анализу в 1821 году.

[править] Ссылки

Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%B4%D1%83_%D1%81%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B8%D0%BC_%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%BC_%D0%B8_%D1%81%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B8%D0%BC_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%BC»