Несобственный интеграл

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

• Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
• Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].

Несобственные интегралы I рода

Пусть $f(x)$ определена и непрерывна на множестве от $[a,+\infty)$ и $\forall A>a \Rightarrow \exists \int\limits_{a}^{A} f(x)dx$. Тогда:

1. Если $\exists \lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx = I\in\mathbb{R}$, то используется обозначение $I=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx$ и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае $I=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx$ называется сходящимся.
2. Если не существует конечного $\lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx$ ($\pm \infty$ или $\nexists$), то интеграл $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx$ называется расходящимся к $''\infty'', \ ''\pm \infty''$, или просто расходящимся.

Пусть $f(x)$ определена и непрерывна на множестве от $(-\infty, b]$ и $\forall B < b \Rightarrow \exists \int\limits_{B}^{b} f(x)dx$. Тогда:

1. Если $\exists \lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b} f(x)dx = I\in\mathbb{R}$, то используется обозначение $I=\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx$ и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае $I=\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx$ называется сходящимся.
2. Если не существует конечного $\lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b} f(x)dx$ ($\pm \infty$ или $\nexists$), то интеграл $\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx$ называется расходящимся к $''\infty'', \ ''\pm \infty''$, или просто расходящимся.

Если функция $f(x)$ определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int\limits_{-\infty}^{c} f(x)dx + \int\limits_{c}^{+\infty} f(x)dx$, где с — произвольное число.

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Примеры

$\int\limits_{-\infty}^{-1} {1 \over x^2} dx = \lim_{a \to -\infty} \int\limits_{a}^{-1} {1 \over x^2}dx = \lim_{a \to -\infty} \Bigl. -\frac {1} {x} \Bigr|_a^{-1} = 1 + \lim_{a \to -\infty} \frac {1} {a} = 1 + 0 = 1$

Несобственные интегралы II рода

Пусть $f(x)$ определена на $(a,b]$, терпит бесконечный разрыв в точке x=a и $\forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int\limits_{a + \delta}^{b} f(x)dx = \mathcal{I}(\delta)$. Тогда:

1. Если $\exists \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = I\in\mathbb{R}$, то используется обозначение $I=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$ и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
   
2. Если $\lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty$ или $\nexists)$, то обозначение сохраняется, а $\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$ называется расходящимся к $''\infty'', \ ''\pm \infty''$, или просто расходящимся.

Пусть $f(x)$ определена на $[a,b)$ , терпит бесконечный разрыв при x=b и $\forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int\limits_{a}^{b-\delta} f(x)dx = \mathcal{I}(\delta)$. Тогда:

1. Если $\exists \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = I\in\mathbb{R}$, то используется обозначение $I=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$ и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
   
2. Если $\lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty$ или $\nexists)$, то обозначение сохраняется, а $\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$ называется расходящимся к $''\infty'', \ ''\pm \infty''$, или просто расходящимся.

Если функция $f(x)$ терпит разрыв во внутренней точке $c$ отрезка $[a;b]$, то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

$\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = \int\limits_{a}^{c} f(x)dx + \int\limits_{c}^{b} f(x)dx$

Геометрический смысл несобственных интегралов II рода

Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции

Пример

$\int\limits_{0}^{1} {dx \over x} = \lim_{\delta \to 0+0} \Bigl. \ln |x| \Bigr|_{0+\delta }^1 = 0 - \lim_{\delta \to 0+0} \ln \delta = + \infty$

Отдельный случай

Пусть функция $f(x)$ определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках $x_1,x_2,\dots ,x_k$.

Тогда можно найти несобственный интеграл $\int\limits_{-\infty }^{+\infty} f(x)dx = \int\limits_{-\infty }^{x_1} f(x)dx + \sum_{j=1}^{k-1} {\int\limits_{x_j}^{x_{j+1}} f(x)dx}+ \int\limits_{x_k}^{+\infty} f(x)dx$

Критерий Коши

1. Пусть $f(x)$ определена на множестве от $[a,+\infty)$ и $\forall A>a \Rightarrow \exists \int\limits_{a}^{A} f(x)dx = \mathcal{I}$.

Тогда $\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx$ сходится $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \Rightarrow \exists A(\varepsilon) > a : \forall (A_2 > A_1 > A) \Rightarrow \left|\int\limits_{A_1}^{A_2} f(x)dx\right| < \varepsilon$

2. Пусть $f(x)$ определена на $(a,b]$ и $\forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int\limits_{a + \delta}^{b} f(x)dx = \mathcal{I}$.

Тогда $\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$ сходится $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \Rightarrow \exists \delta(\varepsilon) > 0 : \forall (0 < \delta_1 < \delta_2 < \delta) \Rightarrow \left|\int\limits_{a+\delta_1}^{a+\delta_2} f(x)dx\right| < \varepsilon$

Абсолютная сходимость

Интеграл $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \ \left(\int\limits_{a}^{b} f(x)dx\right)$ называется абсолютно сходящимся, если $\int\limits_{a}^{+\infty} |f(x)|dx \ \ \left(\int\limits_{a}^{b} |f(x)|dx\right)$сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Условная сходимость

Интеграл $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \$ называется условно сходящимся, если $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \$ сходится, а $\int\limits_{a}^{+\infty} |f(x)|dx \ \$ расходится.

См. также

• Интеграл Римана
• Интеграл Лебега
• Метод Самокиша — численный метод для вычисления интегралов с особенностями.

Список используемой литературы

Дмитрий Письменный Конспект лекций по высшей математике, часть 1. — Айрис Пресс, 2007. — С. 233-237.