Несобственный интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий.

  • Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным интервалом [a,+\infty).
  • Функция f(x) является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.

Если интервал [a,b] конечный, и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает с значением определённого интеграла.

Несобственные интегралы I рода[править | править вики-текст]

Пусть f(x) определена и непрерывна на множестве от [a,+\infty) и \forall A>a \Rightarrow \exists \int\limits_{a}^{A} f(x)dx . Тогда:

  1. Если \exists \lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx = I\in\mathbb{R}, то используется обозначение I=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае I=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx называется сходящимся.
  2. Если не существует конечного \lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx (\pm \infty или \nexists), то интеграл \int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx называется расходящимся к ''\infty'', \ ''\pm \infty'', или просто расходящимся.

Пусть f(x) определена и непрерывна на множестве от (-\infty, b] и \forall B < b \Rightarrow \exists \int\limits_{B}^{b} f(x)dx . Тогда:

  1. Если \exists \lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b} f(x)dx = I\in\mathbb{R}, то используется обозначение I=\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае I=\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx называется сходящимся.
  2. Если не существует конечного \lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b} f(x)dx (\pm \infty или \nexists), то интеграл \int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx называется расходящимся к ''\infty'', \ ''\pm \infty'', или просто расходящимся.

Если функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int\limits_{-\infty}^{c} f(x)dx + \int\limits_{c}^{+\infty} f(x)dx, где с — произвольное число.

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода[править | править вики-текст]

Несобственный интеграл первого рода выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Примеры[править | править вики-текст]

\int\limits_{-\infty}^{-1} {1 \over x^2} dx = \lim_{a \to -\infty} \int\limits_{a}^{-1} {1 \over x^2}dx = \lim_{a \to -\infty} \Bigl. -\frac {1} {x} \Bigr|_a^{-1} = 1 - \lim_{a \to -\infty} \frac {1} {a} = 1 - 0 = 1

Несобственные интегралы II рода[править | править вики-текст]

Пусть f(x) определена на (a,b], терпит бесконечный разрыв в точке x=a и \forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int\limits_{a + \delta}^{b} f(x)dx = \mathcal{I}(\delta). Тогда:

  1. Если \exists \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = I\in\mathbb{R}, то используется обозначение I=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
  2. Если \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty или  \nexists), то обозначение сохраняется, а \mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx называется расходящимся к ''\infty'', \ ''\pm \infty'', или просто расходящимся.

Пусть f(x) определена на [a,b) , терпит бесконечный разрыв при x=b и \forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int\limits_{a}^{b-\delta} f(x)dx = \mathcal{I}(\delta). Тогда:

  1. Если \exists \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = I\in\mathbb{R}, то используется обозначение I=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
  2. Если \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty или  \nexists), то обозначение сохраняется, а \mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx называется расходящимся к ''\infty'', \ ''\pm \infty'', или просто расходящимся.

Если функция f(x) терпит разрыв во внутренней точке c отрезка [a;b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = \int\limits_{a}^{c} f(x)dx + \int\limits_{c}^{b} f(x)dx

Геометрический смысл несобственных интегралов II рода[править | править вики-текст]

Несобственный интеграл второго рода выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции

Пример[править | править вики-текст]

\int\limits_{0}^{1} {dx \over x} = \lim_{\delta \to 0+0} \Bigl. \ln |x| \Bigr|_{0+\delta }^1 = 0 - \lim_{\delta \to 0+0} \ln \delta = + \infty

Отдельный случай[править | править вики-текст]

Пусть функция f(x) определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках x_1,x_2,\dots ,x_k.

Тогда можно найти несобственный интеграл \int\limits_{-\infty }^{+\infty} f(x)dx = \int\limits_{-\infty }^{x_1} f(x)dx + \sum_{j=1}^{k-1} {\int\limits_{x_j}^{x_{j+1}} f(x)dx}+ \int\limits_{x_k}^{+\infty} f(x)dx

Критерий Коши[править | править вики-текст]

1. Пусть f(x) определена на множестве от [a,+\infty) и \forall A>a \Rightarrow \exists \int\limits_{a}^{A} f(x)dx = \mathcal{I}.

Тогда \mathcal{I}=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx сходится \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \Rightarrow \exists A(\varepsilon) > a : \forall (A_2 > A_1 > A) \Rightarrow \left|\int\limits_{A_1}^{A_2} f(x)dx\right| < \varepsilon

2. Пусть f(x) определена на (a,b] и \forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int\limits_{a + \delta}^{b} f(x)dx = \mathcal{I}.

Тогда \mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx сходится \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \Rightarrow \exists \delta(\varepsilon) > 0 : \forall (0 < \delta_1 < \delta_2 < \delta) \Rightarrow \left|\int\limits_{a+\delta_1}^{a+\delta_2} f(x)dx\right| < \varepsilon

Абсолютная сходимость[править | править вики-текст]

Интеграл \int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \ \left(\int\limits_{a}^{b} f(x)dx\right) называется абсолютно сходящимся, если \int\limits_{a}^{+\infty} |f(x)|dx \ \ \left(\int\limits_{a}^{b} |f(x)|dx\right)сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Условная сходимость[править | править вики-текст]

Интеграл \int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \ называется условно сходящимся, если \int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \ сходится, а \int\limits_{a}^{+\infty} |f(x)|dx \ \ расходится.

См. также[править | править вики-текст]


Список используемой литературы[править | править вики-текст]

Дмитрий Письменный Конспект лекций по высшей математике, часть 1. — Айрис Пресс, 2007. — С. 233-237.