Несократимая дробь

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, несократимая дробь (также приведённая дробь) — дробь, которую невозможно сократить. Иначе говоря, значение несократимой дроби не допускает более простое представление в виде дроби. В случае обыкновенных дробей «более простое» означает: с меньшим (но натуральным) знаменателем.

Обыкновенные дроби[править | править вики-текст]

Каждое рациональное число обладает одним и только одним представлением в виде несократимой дроби

\frac p q\ ,

где p — целое число, а q — натуральное. Если разрешить целые знаменатели любого знака, то возможно второе несократимое представление

\frac{-p}{-q} = \frac p q

(то есть, числитель и знаменатель несократимой дроби можно одновременно умножать на −1), но все остальные представления рационального числа в виде частного двух целых чисел будут сократимы.

Дробь является несократимой тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель взаимно просты.

Примеры[править | править вики-текст]

Для целого числа n представлением в виде несократимой дроби является

n = \frac n 1\ .

Для полуцелого числа n + 12 представлением в виде несократимой дроби является

n+\frac12 = \frac{2n+1} 2\ .

Дробь

\frac 4{15}

несократима, хотя и числитель (4 = 2 × 2), и знаменатель (15 = 3 × 5) являются составными числами.

Левая часть равенства

\frac{119}{21} = \frac{17}3

сократима, т.к. и 119, и 21 делятся на 7. Правая часть — несократимая дробь, т.к. числитель и знаменатель являются различными простыми числами.

Обобщение для произвольных колец[править | править вики-текст]

Свойства несократимости, изложенные для обыкновенных дробей, сохраняются для факториальных колец с заменой множества чисел {1, −1} на группу обратимых элементов кольца.

Над произвольным кольцом элемент кольца частных, вообще говоря, не обязан иметь единственное с точностью до обратимых элементов представление в виде несократимой дроби.

См. также[править | править вики-текст]