Неустойчивость Рэлея — Тейлора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Развитие нестабильности Рэлея — Тейлора.

Неустойчивость Рэлея — Тейлора (названа в честь лорда Рэлея и Дж. И. Тейлора) — самопроизвольное нарастание возмущений давления, плотности и скорости в газообразных и жидких средах с неоднородной плотностью, находящихся в гравитационном поле (Рэлей, 1900 г.) либо движущихся с ускорением (Тейлор, 1950 г.).

Частными случаями неустойчивости Рэлея — Тейлора являются нестабильности границ сред с разной плотностью при ускорении под воздействием от проходящей ударной волны (неустойчивость Рихтмайера — Мешкова) и неустойчивость плазмы, находящейся в поле тяготения над параллельным по отношению к ее границе магнитным полем (неустойчивость Крускала-Шварцшильда)

Простейший случай неустойчивости Рэлея — Тейлора — неустойчивость поверхности раздела жидкостей либо газов с различными плотностями в поле тяготения, когда слой более плотной среды лежит в неустойчивом равновесии на слое менее плотной. Если начальном состоянии плоскость раздела перпендикулярна вектору силы тяжести, то любое возмущение поверхности раздела будет расти с течением времени, так как участки более плотной среды, оказавшиеся ниже плоскости раздела, начинают «тонуть» в менее плотной среде, а участки менее плотной среды, оказавшиеся выше плоскости раздела, начинают «всплывать» в более плотной среде. Такое взаимное проникновение ведет к уменьшению потенциальной энергии системы, которая достигает минимума, когда слои полностью меняются местами, то есть система достигает устойчивого равновесия.

Основным параметром, определяющим скорость развития этой нестабильности, является число Атвуда.

Аналитическое описание[править | править исходный текст]

Задача о неустойчивости Рэлея — Тейлора имеет аналитическое решение в рамках линейной теории устойчивости.

Пусть два протяжённых плоских горизонтальных слоя жидкости расположены в поле тяжести \vec{g} друг над другом, причём более тяжёлая жидкость 1 находится вверху (на иллюстрации - синий цвет), плотности жидкостей \rho_1, \rho_2. Верхняя и нижняя границы - твёрдые. Для простоты удобно пользоваться моделью невязкой несжимаемой жидкости, тогда система описывается уравнением Эйлера:


\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \nabla \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \nabla P + \vec{g},

\operatorname{div} \vec{v} = 0.

В дальнейшем компоненты скорости определяются как \vec{v} = \left\{ u, v, w \right\}. Вполне очевидно, что равновесное решение (\vec{v} = 0) удовлетворяет модели, при этом из уравнения Эйлера для давления получается следующее:


\frac{\partial P}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial P}{\partial z} = - \rho g

Откуда определяется равновесное распределение давления (известный результат для давления столба жидкости):


P_0 = - \rho g z.

Внесём в равновесное состояние малые возмущения. Пусть скорость \vec{v} настолько мала, что можно пренебречь нелинейным слагаемым \left( \vec{v} \cdot \nabla \right) \vec{v} в уравнении Эйлера, а давление имеет вид P = P_0 + P', где P' << P_0. Тогда получим линейную систему уравнений для малых возмущений (далее штрих у давления опущен):


\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = - \frac{1}{\rho} \nabla P,

\operatorname{div} \vec{v} = 0.

Граничные условия задаются исходя из соображений равенства z-компонент скорости жидкостей 1 и 2 на границе раздела и наличия поверхностного натяжения. На верхней и нижней границах, т. к. жидкость идеальная, работают условия непротекания. Удобно принять координату границы раздела в равновесии за 0. На ней выполняется кинематическое условие


\quad \frac{\partial \zeta}{\partial t} = w,

и динамическое условие


\left(P_1 - P_2\right) - \left( \rho_1 - \rho_2 \right) g \zeta = \sigma \Delta \zeta.

Условие непротекания верхней и нижней границ:


z=\pm h: \quad w = 0,

где \zeta - величина отклонения границы от невозмущённой, \sigma - коэффициент поверхностного натяжения. Полученная задача для возмущений легко решается.

Положим, что возмущения имеют вид:


\vec{v}, P, \zeta \sim e^{\lambda t} e^{i \left( k_x x + k_y y \right)},

где \lambda - скорость роста (инкремент) возмущения, k_x, k_y - компоненты волнового вектора возмущения границы.

Из уравнения Эйлера выражается w:


\lambda w = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial z},

а условие несжимаемости \operatorname{div}\vec{v} = 0 даёт уравнение Лапласа для давления. В итоге, скорость течения из задачи удаётся исключить. Остаётся линейное уравнение:


\frac{\partial^2 P}{\partial z^2} - k^2 P = 0,

с граничными условиями:


z=0: \quad \left( P_1 - P_2 \right) - \left( \rho_1 - \rho_2 \right) g \zeta = -\sigma k^2 \zeta,

z=0: \quad \frac{1}{\rho_1} \frac{\partial P_1}{\partial z} - \frac{1}{\rho_2} \frac{\partial P_2}{\partial z} = 0,

z=\pm h: \quad \frac{\partial P}{\partial z}=0.

Решение уравнения Лапласа для давления:


P_1 = C_1 \cosh k \left( h - z \right),

P_2 = C_2 \cosh k \left( h + z \right).

Константы C_1, C_2 определяются из кинематического условия. Динамическое условие даёт связь между инкрементом и модулем волнового вектора


\lambda^2 = \frac{\left( \rho_1 - \rho_2 \right)g - \sigma k^2 }{\rho_1 + \rho_2} k \tanh kh,

откуда непосредственно следует выражение для критического волнового числа возмущений (при \lambda = 0):

k_c^2 = \left( \rho_1 - \rho_2 \right) \frac{g}{\sigma}.

Если длина волны больше критической, то возмущения границы будут нарастать.

В предельном случае бесконечно глубоких слоёв ( kh >> 1 ) наибольшая скорость роста возмущений достигается при волновом числе

k_m^2 = \left( \rho_1 - \rho_2 \right) \frac{g}{3 \sigma}.

В тонких слоях ( kh << 1 ):

k_m^2 = \left( \rho_1 - \rho_2 \right) \frac{g}{2 \sigma}.

В природе[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Лабунцов Д.А., Ягов В.В. Механика двухфазных систем. // М.: Изд-во МЭИ, 2000. - с. 143-146.
  • Векштейн Г.Е. Физика сплошных сред в задачах. // М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - с. 109-111.

Ссылки[править | править исходный текст]