Нильпотентная группа

Текущая версия (не проверялась)

Нильпотентная группа ― группа $G$ обладающая центральным рядом, то есть нормальным рядом $G i$ таким, что каждый его фактор $G i / G i + 1$ лежит в центре факторгруппы $G / G i + 1$ .

[править] Связанные определения

Длина наиболее короткого центрального ряда нильпотентной группы называется её классом (или ступенью) нильпотентности.
- Все нильпотентные группы класса нильпотентности не больше $n$ образуют многообразие, определяемое тождеством
  
  $[\ldots[[x_0,\;x_1],\;x_2],\;\ldots,\;x_n]=1.$
- Свободные группы этого многообразия, то есть группы удовлетворяющие только таким соотношениям называются свободными нильпотентными группами.

В любой нильпотентной группе нижний (а также верхний) центральный ряд обрывается на единичной подгруппе и имеет длину, равную классу нильпотентности группы.
Конечные нильпотентные группы исчерпываются прямыми произведениями $p$ -групп.
В любой нильпотентной группе элементы конечных порядков образуют подгруппу, факторгруппа по которой не имеет кручения.
Конечно порожденные нильпотентные группы без кручения исчерпываются группами целочисленных треугольных матриц с единицами на главной диагонали и их подгруппами.
Конечно порожденные нильпотентные группы являются полициклическими группами, более того, они имеют центральный ряд с циклическими факторами.
Любая конечно порождённая нильпотентная группа без кручения является решёткой в односвязной нильпотентной группе Ли.