Нильпотентная группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нильпотентная группа — естественное обобщение понятия абелевой группы.

Нильпотентные группы встречаются в теории Галуа, а также в работах по классификации групп. Они, кроме того, играют заметную роль в классификации групп Ли. Аналогичные понятия определяются для алгебр Ли.

Определение[править | править исходный текст]

Нильпотентная группагруппа G, обладающая центральным рядом от G_0=\{e\} до G_n=G конечной длины.

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • Длина наиболее короткого центрального ряда нильпотентной группы называется её классом (или ступенью) нильпотентности.
    • Все нильпотентные группы класса нильпотентности не больше n образуют многообразие, определяемое тождеством
      [\ldots[[x_0,\;x_1],\;x_2],\;\ldots,\;x_n]=1.
    • Свободные группы этого многообразия, то есть группы удовлетворяющие только таким соотношениям называются свободными нильпотентными группами.

Свойства[править | править исходный текст]

  • В любой нильпотентной группе нижний (а также верхний) центральный ряд обрывается на единичной подгруппе и имеет длину, равную классу нильпотентности группы.
  • Конечные нильпотентные группы исчерпываются прямыми произведениями p-групп.
  • В любой нильпотентной группе элементы конечных порядков образуют подгруппу, факторгруппа по которой не имеет кручения.
  • Конечно порожденные нильпотентные группы без кручения исчерпываются группами целочисленных треугольных матриц с единицами на главной диагонали и их подгруппами.
  • Конечно порожденные нильпотентные группы являются полициклическими группами, более того, они имеют центральный ряд с циклическими факторами.
  • Любая конечно порождённая нильпотентная группа без кручения является решёткой в односвязной нильпотентной группе Ли.

См. также[править | править исходный текст]