Нильпотентный идеал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нильпотентный идеал — односторонний или двусторонний идеал M кольца такой, что для некоторого натурального n выполняется M^n=\{0\}, то есть произведение любых n элементов идеала M равно нулю.

Примеры[править | править вики-текст]

  • В кольце \Z_{p^n} вычетов по модулю p^n, где p — некоторое простое число, все идеалы, отличные от самого кольца, нильпотентны.
  • В кольце верхнетреугольных матриц над некоторым полем матрицы, у которых на главной диагонали стоят нули, образуют нильпотентный идеал.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Любой элемент нильпотентного идеала нильпотентен.
  • Любой нильпотентный идеал является одновременно нильидеалом и содержится в радикале Джекобсона кольца.
  • В артиновых кольцах радикал Джекобсона нильпотентен, и понятия нильпотентного идеала и нильидеала совпадают. Последнее свойство справедливо и для нётеровых колец. В нётеровом слева кольце любой левый (правый) нильидеал нильпотентен.
  • Все нильпотентные идеалы коммутативного кольца содержатся в нильрадикале, который в общем случае может быть не нильпотентным, а лишь нильидеалом. Простой пример такой ситуации доставляет прямая сумма колец \Z_{p^n} по всем натуральным n.
  • В коммутативном кольце любой нильпотентный элемент a содержится в некотором нильпотентном идеале, например, в главном идеале, порожденном a.
    • В некоммутативном кольце могут существовать нильпотентные элементы, которые не содержатся ни в одном нильпотентном идеале (и даже нильидеале). Например, в полном кольце матриц над полем имеются нильпотентные элементы, у которых ненулевые элементы стоят только над главной диагональю, но это кольцо просто и, следовательно, не имеет ненулевых нильпотентных идеалов.
  • В конечномерной алгебре Ли g существует максимальный нильпотентный идеал, состоящий из элементов x\in g, для которых эндоморфизм y\to[x,y] для y\in g нильпотентен.

Литература[править | править вики-текст]

  • Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968;
  • Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961;
  • Фейс К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1, М., 1977;
  • Херстейн И., Некоммутативные кольца, пер. с англ., М., 1972;
  • Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1978.