Нильпотентный элемент

Нильпотентный элемент или нильпотент ― элемент $a$ кольца, удовлетворяющий равенству $a^n=0$ для некоторого натурального $n$. Минимальное значение $n$, для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента $a$.

Рассмотрение нильпотентов часто оказывается полезным в алгебраической геометрии, т. к. они позволяют получить чисто алгебраические аналоги ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии (бесконечно малые деформации и т. п.).

Примеры

• В кольце вычетов по модулю $p^n$, где $p$ ― некоторое простое число, класс вычетов числа $p$ ― нильпотент индекса $n$,
• Матрица

$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

является нильпотентом индекса $2$ в кольце $2\times 2$-матриц

Связанные определения

• элемент кольца $u$ называется унипотентным (или унипотентом) если $u-1$ является нильпотентным,
  • Например, унипотентной является матрица

    $\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Свойства

• Если $a$ ― нильпотентный элемент индекса n, то справедливо равенство

$1=(1-a)(1+a+a^2+\cdots+a^{n-1})$,

т. е. элемент $(1-a)$ обратим и обратный к нему элемент записывается в виде многочлена от $a$.

• В коммутативном кольце элемент а нильпотентен тогда и только тогда, когда он содержится во всех простых идеалах.
• Все нильпотентные элементы образуют идеал $J$, называемым нильрадикалом кольца совпадающий с пересечением всех простых идеалов. Кольцо $A/J$ уже не имеет нильпотентных элементов, отличных от нуля.
• При интерпретации коммутативного кольца как кольца функций на пространстве его спектре нильпотентам соответствуют функции, тождественно равные нулю.