Нильпотентный элемент

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нильпотентный элемент или нильпотент ― элемент a кольца, удовлетворяющий равенству a^n=0 для некоторого натурального n. Минимальное значение n, для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента a.

Рассмотрение нильпотентов часто оказывается полезным в алгебраической геометрии, т. к. они позволяют получить чисто алгебраические аналоги ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии (бесконечно малые деформации и т. п.).

Примеры[править | править вики-текст]

\begin{pmatrix} 
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}
является нильпотентом индекса 2 в кольце 2\times 2-матриц

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • элемент кольца u называется унипотентным (или унипотентом) если u-1 является нильпотентным,
    • Например, унипотентной является матрица
      \begin{pmatrix} 
1 & 1\\
0 & 1
\end{pmatrix}

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если a ― нильпотентный элемент индекса n, то справедливо равенство
1=(1-a)(1+a+a^2+\cdots+a^{n-1}),
т. е. элемент (1-a) обратим и обратный к нему элемент записывается в виде многочлена от a.
  • В коммутативном кольце элемент а нильпотентен тогда и только тогда, когда он содержится во всех простых идеалах.
  • Все нильпотентные элементы образуют идеал J, называемым нильрадикалом кольца совпадающий с пересечением всех простых идеалов. Кольцо A/J уже не имеет нильпотентных элементов, отличных от нуля.
  • При интерпретации коммутативного кольца как кольца функций на пространстве его спектре нильпотентам соответствуют функции, тождественно равные нулю.