Номограмма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Номогра́мма (греч. νομοσ — закон) — графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывания линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул.

Номография[править | править вики-текст]

Геометрические изображения зависимостей между переменными, избавляющие от вычислений, известны давно. Разработка теории номографических построений началась в XIX веке. Первой была создана теория построения прямолинейных сетчатых номограмм французским математиком Л. Л. К. Лаланном (1843). Основания общей теории номографических построений дал М. Окань  (фр.)(1884—1891) — в его же работах впервые появился термин «номограмма», установленный для применения в 1890 году Международным математическим конгрессом в Париже. Первым в России в этой области работал Н. М. Герсеванов (1906—1908), затем, создавший советскую номографическую школу, Н. А. Глаголев.

Номограмма из выровненных точек.
Таблица умножения.

Особенность номограмм заключается в том, что каждый чертёж изображает заданную область изменения переменных и каждое из значений переменных в этой области изображено на номограмме определённым геометрическим элементом (точкой или линией); изображения значения переменных, связанных функциональной зависимостью, находятся на номограмме в определённом соответствии, общем для номограмм одного и того же типа.

Номограммы различают по способу изображения значений переменных (точками или линиями) и по способу задания соответствия между изображениями переменных. Наиболее распространены следующие номограммы:

из выравненных точек Для уравнений с тремя переменными применяют три шкалы, которые построены так, что три точки, удовлетворяющие уравнению, лежат на одной прямой — отсюда и название типа номограммы. Именно с них началось развитие номографии — раздела математики, объединяющего теорию и практические методы построения номограмм.
сетчатые Для построения сетчатых номограмм из прямых линий применяются функциональные сетки, простейшими из которых являются логарифмическая и полулогарифмическая. Кроме прямой линии могут применяться и другие так называемые разрешающие индексы номограммы:
окружности (Годсель), произвольная кривая (Швердт), катеты чертёжного угольника (Сиглер) и т.д.
транспарантные В простейшем случае состоит из двух плоскостей: основной плоскости и транспаранта с изображениями на них переменных. Транспарант часто делается из прозрачного материала. Пример транспарантной номограммы — логарифмическая линейка.

При построении сетчатых номограмм может быть поставлена дополнительная задача, анаморфоза: найти такое преобразование, при котором все три семейства линий номограммы обращаются в семейства прямых, что упрощает её вычерчивание.

Для уравнений со многими переменными применяются составные номограммы, состоящие из номограмм, связанных общими шкалами или семействами линий.

Примеры[править | править вики-текст]

Сопротивление при параллельном включении/тонкие линзы[править | править вики-текст]

Номограмма вычисления электрического сопротивления при параллельном включении

Номограмма на рисунке позволяет вычислить

\frac{1}{1/A + 1/B}

Номограмма интересна тем, что позволяет осуществить полезные нелинейные вычисления с помощью прямой линии при линейно градуированных шкалах.

A и B отмеряются на горизонтальной и вертикальной шкалах, а результат считывается с диагональной шкалы. Будучи пропорциональной среднему гармоническому чисел A и B, формула имеет несколько приложений. Например, сопротивление соединённых параллельно проводников в электрических сетях и уравнение тонких линз[en] в оптике.

На рисунке красная линия показывает, что при параллельном соединении сопротивлений 56 и 42 ом сопротивление цепи составит 24 ома. Номограмма также показывает, что объект на расстоянии 56 см от линзы с фокусным расстоянием 24 см образует оптическое изображение на расстоянии 42 см.

Номограмма вычисления критерия хи-квадрат[править | править вики-текст]

Номограмму на рисунке можно использовать для приближенного вычисления некоторых величин, которые нужны для вычисления хорошо известного критерия согласия Пирсона. Эта номограмма показывает применение кривых шкал с нелинейной градуировкой.

Соответствующее выражение

\frac{(\operatorname{observed} - \operatorname{expected})^2}
            {\operatorname{expected}}

Шкала сверху соответствует пяти различным интервалам наблюдаемых значений — A, B, C, D и E. Наблюдаемое значение ищется среди этих значений и выбирается метка над ним. Затем на соответствующих кривых шкалах выбирается ожидаемое значение. Например, для наблюдаемого значения 9 выбирается метка на числом 9 в интервале A, а кривая шкала A используется для ожидаемого значения. Для наблюдаемого значения 81 будет использована метка над 81 в интервале E и кривая шкала E будет использована для ожидаемого значения. Это позволяет несколько номограмм вместить в одну диаграмму.

На рисунке синяя линия показывает вычисление

(9 − 5)2/ 5 = 3.2

а красная — вычисление

(81 − 70)2 / 70 = 1.7

Для проведения теста часто используется поправка Йейтса, просто вычитается 0.5 из наблюдаемых значений. Номограмма для критерия с поправкой Йетса может быть построена просто сдвигом каждой шкалы "наблюдений" на половинку единицы влево, так что вместо 1.0, 2.0, 3.0, ... появятся значения 0.5, 1.5, 2.5, ....


См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Java Applet  (англ.)для создания простейших номограмм.