Нормальная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике комплексная квадратная матрица A называется нормальной, если

A^*A=AA^*

где A — это сопряжено-транспонированная матрица к A. Таким образом, матрица нормальна тогда и только тогда, когда она коммутирует со своей сопряжено-транспонированной.

Для вещественной матрицы A выполняется A = AT, и поэтому она нормальна, если ATA = AAT.

Нормальность является удобным тестом для приводимости к диагональной форме[en] — матрица нормальна тогда и только тогда, когда она подобна диагональной матрице, а потому любая матрица A, удовлетворяющая уравнению AA = AA, допускает приведение к диагональной форме.

Понятие нормальной матрицы можно распространить на нормальные операторы[en] в бесконечномерных гильбертовых пространствах и нормальные элементы в C*-алгебрах[en].

Специальные случаи[править | править вики-текст]

Среди комплексных матриц все унитарные, эрмитовы и косоэрмитовы матрицы нормальны. Среди вещественных матриц все ортогональные, симметричные и кососимметричные матрицы нормальны. Однако неверно, что все нормальные матрицы либо унитарны, либо эрмитовы, либо косоэрмитовы. Например

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

не является ни унитарной, ни эрмитовой, ни косоэрмитовой, хотя и унитарна, поскольку

AA^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = A^*A.

Следствия[править | править вики-текст]

Предложение. Нормальная треугольная матрица диагональна.

Пусть A — нормальная верхняя треугольная матрица. Поскольку (AA)ii = (AA)ii, первая строка должна иметь ту же норму, что и первый столбец:

\left \|A e_1 \right\|^2 = \left \|A^* e_1 \right \|^2.

Первые элементы первой строки и первого столбца совпадают, а остаток первого столбца состоит из нулей. Из этого следует, что и в строке все элементы от 2 до n должны быть нулевыми. Продолжая эти рассуждения для пар строка/столбец с номерами от 2 до n получим, что A диагональна.

Понятие нормальности важно, поскольку нормальные матрицы это в точности те, которых касается спектральная теорема:

Предложение. Матрица A нормальна тогда и только тогда, когда существует диагональная матрица Λ и унитарная матрица U, такие что A = UΛU.

Диагональные элементы матрицы Λ являются собственными числами, а стобцы Uсобственными векторами матрицы A. (собственные значения в Λ идут в том же порядке, что и соответствующие им собственные столбцы в U).

Другим способом высказать утверждение спектральной теоремы является утверждение, что нормальные матрицы — это в точности те матрицы, которые можно представить в виде диагональной матрицы путём выбора подходящего ортонормального базиса пространства Cn. Также можно утверждать, что матрица нормальна тогда и только тогда, когда её собственное пространство совпадает с Cn и собственные вектора ортогональны по стандартному скалярному произведению в Cn.

Спектральная теорема для нормальных матриц является специальным случаем более общего разложения Шура[en], которое выполняется для всех квадратных матриц. Пусть A — квадратная матрица. Тогда, согласно разложению Шура, она унитарно подобна верхней треугольной матрице, скажем, B. Если A нормальна, то и B нормальна тоже. Но тогда B должна быть диагональной по причине, изложенной выше.

Спектральная теорема позволяет классифицировать нормальные матрицы в терминах спектра, например:

Предложение. Нормальная матрица унитарна тогда и только тогда, когда её спектр содержится в единичном круге комплексной плоскости.
Предложение. Нормальная матрица является самосопряжённой тогда и только тогда, когда её спектр содержится в R.

В общем случае сумма или произведение двух нормальных матриц не обязательно будет нормальной матрицей. Однако выполняется следуещее:

Предложение. Если A и B нормальны и выполняется AB = BA, то и AB, и A + B также нормальны. Более того, существует унитарная матрица U, такая что UAU и UBU диагональны. Другими словами, A и B совместно приводимы к диагональной форме[en].

В этом частном случае столбцы матрицы U являются собственными векторами как A, так и B и образуют ортонормальный базис в Cn. Утверждение следует из теорем, что над алгебраически замкнутым полем коммутирующие матрицы[en] совместно приводимы к треугольному виду[en] и что нормальная матрица приводима к диагональной, в последнем случае с дополнением, что это можно сделать одновременно.

Эквивалентные определения[править | править вики-текст]

Можно дать довольно длинный список эквивалентных определений нормальной матрицы. Пусть An × n комплексная матрица. Следующие высказывания эквивалентны:

  1. A нормальна.
  2. A является для приводима к диагональной форме[en] с помощью унитарной матрицы.
  3. Все точки пространства можно получить как линейные комбинации некоторого набора ортонормальных собственных векторовматрицы A.
  4. ||Ax|| = ||Ax|| для любой x.
  5. Норму Фробениуса матрицы A можно вычислить по собственным значениям матрицы A: \operatorname{tr} (A^* A) = \sum\nolimits_j |\lambda_j|^2.
  6. Эрмитова часть (A + A^\ast)/2 и косоэрмитова части (A - A^{\ast})/2 матрицы A коммутируют.
  7. A является многочленом (степени n − 1) от A.[1]
  8. A = AU для некоторой унитарной матрицы U.[2]
  9. U и P коммутируют, где U и P представляют полярное разложение A = UP на унитарную матрицу U и некую положительно определённую матрицу P.
  10. A коммутирует с некоторой нормальной матрицей N, имеющей различные собственные значения.
  11. σi = |λi| для всех 1 ≤ in, где A имеет сингулярные собственные значения[en] σ1 ≥ ... ≥ σn и собственные вектора |λ1| ≥ ... ≥ |λn|.[3]
  12. Операторная норма нормальной матрицы A равна числовому[en] и спектральному радиусу[en] матрицы A. Это означает:
\sup_{ \|x\|=1 } \|Ax\| =  \sup_{ \|x\|=1 } |\langle Ax, x \rangle| = \max \{ |\lambda| : \lambda \in \sigma(A) \}

Некоторые, но не все перечисленные выше определения можно обобщить до нормальных операторов в бесконечномерных гильбертовых пространстывах. Например, ограниченный оператор, удовлетворяющий (9) является лишь квазинормальным[en].

Аналогии[править | править вики-текст]

Иногда полезно (а иногда и вводит в заблуждение) рассматривать связи различных видов нормальных матриц как аналогию различных видов комплексных чисел:

Можно комплексные числа вложить в нормальные 2 × 2 вещественные матрицы путём отображения

a+bi \mapsto \begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix},

и при этом вложении сохраняются сложение и умножение. Легко проверить, что при этом сохранятся все выше перечисленные аналогии.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Доказательство: Если A нормальна, используем формулу интерполяции Лагранжа для построения многочлена P , такого что λj = P(λj), где λj — собственные значения матрицы A.
  2. Horn, pp. 109
  3. Roger A. Horn, Charles R. Johnson Topics in Matrix Analysis. — Cambridge University Press, 1991. — С. 157. — ISBN 978-0-521-30587-7.

Ссылки[править | править вики-текст]