Нормальная подгруппа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

Норма́льная подгру́ппа (также инвариа́нтная подгру́ппа) — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают. Такие группы важны, поскольку позволяют строить факторгруппу.

Определения[править | править вики-текст]

Подгруппа N группы G называется нормальной, если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента n из N и любого g из G, элемент g n g^{-1} лежит в N:

N \triangleleft G\, \iff\, \forall\, n\in N, \forall\ g\in G \, gng^{-1}\in{N}

Следующие условия нормальности подгруппы эквивалентны:

  1. Для любого g из G, gNg^{-1} \sube N.
  2. Для любого g из G, gNg^{-1} = N.
  3. Множества левых и правых смежных классов N в G совпадают.
  4. Для любого g из G, gN = Ng.
  5. N изоморфна объединению классов сопряженных элементов.

Условие (1) логически слабее, чем (2), а условие (3) логически слабее, чем (4). Поэтому условия (1) и (3) часто используются при доказательстве нормальности подгруппы, а условия (2) и (4) используются для доказательства следствий нормальности.

Примеры[править | править вики-текст]

  • \{ e \} и G — всегда нормальные подгруппы G. Они называются тривиальными. Если других нормальных подгрупп нет, то группа G называется простой.
  • Группа параллельных переносов в пространстве любой размерности — нормальная подгруппа евклидовой группы; например, в трёхмерном пространстве поворот, сдвиг и поворот в обратную сторону приводит к простому сдвигу.
  • В группе кубика Рубика подгруппа, состоящая из операций, действующих только на угловые элементы, нормальна, так как никакое сопряжённое преобразование не заставит такую операцию действовать на краевой, а не угловой элемент. Напротив, подгруппа, состоящая лишь из поворотов верхней грани, не нормальна, так как сопряжения позволяют переместить части верхней грани вниз.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Нормальность сохраняется при сюрьективных гомоморфизмах и взятии обратных образов.
  • Ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа.
  • Нормальность сохраняется при построении прямого произведения.
  • Нормальная подгруппа нормальной подгруппы не обязана быть нормальной в группе, то есть нормальность не транзитивна. Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормальна.
  • Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. Если p — наименьший простой делитель порядка G, то любая подгруппа индекса p нормальна.
  • Если N — нормальная подгруппа в G, то на множестве левых (правых) смежных классов G / N можно ввести групповую структуру по правилу
(g_1 N)(g_2 N)=(g_1 g_2)N
Полученное множество называется факторгруппой G по N.
  • N нормальна тогда и только тогда, когда она тривиально действует на левых смежных классах G / N.

Исторические факты[править | править вики-текст]

Эварист Галуа первым понял важность нормальных подгрупп.

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.:Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
  • Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6.