Нормальное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Норма́льное простра́нство — топологическое пространство, удовлетворяющее аксиомам отделимости T1, T4, то есть такое топологическое пространство, в котором одноточечные множества замкнуты и любые два непересекающихся замкнутых множества отделимы окрестностями (то есть содержатся в непересекающихся открытых множествах).

Свойства[править | править вики-текст]

  • Нормальные пространства образуют частный случай вполне регулярных или тихоновских пространств. Это следует из леммы Урысона: в нормальном пространстве любые два непересекающиеся замкнутые множества функционально отделимы.
  • Теорема Титце-Урысона. Каждая непрерывная вещественная функция, заданная на замкнутом подмножестве нормального пространства, непрерывно продолжается на всё пространство.
  • Всякое замкнутое подпространство нормального пространства нормально.
  • Пространства, все подпространства которых нормальны, называется наследственно нормальными.
    • Для наследственной нормальности достаточно, чтобы все его открытые подпространства были нормальны.
    • Для наследственной нормальности пространства необходимо и достаточно, чтобы были отделимы окрестностями всякие два множества, из которых ни одно не содержит точек соприкосновения другого.
  • Нормальное пространство называется совершенно нормальным, если в нём каждое замкнутое множество является пересечением счётного числа открытых множеств.
    • Всякое совершенно нормальное пространство есть наследственно нормальное пространство.
    • Всякое метрическое пространство совершенно нормально.
  • Нормальное пространство, в котором для любого дискретного семейства замкнутых множеств {\{F_s\}}_{s\in S} существует дискретное семейство открытых множеств {\{U_s\}}_{s\in S}, такое, что F_s \subset U_s для каждого s\in S, называется коллективно нормальным.
  • Произведение двух нормальных пространств не обязано быть нормальным, и даже произведение нормального пространства на отрезок может быть не нормальным.

Литература[править | править вики-текст]

  • Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.