Нормальное расширение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Норма́льное расшире́ние — алгебраическое расширение поля E/K для которого каждый неприводимый многочлен f(x) над K, имеющий хотя бы один корень в E, разлагается в E на линейные множители.

Равносильное определение: Если K \subset E \subset K^*, где K^* — алгебраическое замыкание поля K, то E нормально, если любой изоморфизм \sigma поля E в алгебраическое замыкание K^* над K является автоморфизмом поля E.

Нормальное расширение как поле разложения[править | править вики-текст]

Всякое расширение E/K является нормальным тогда и только тогда, когда E является полем разложения некоторого множества многочленов из K[x].

Нормальные расширения в соответствии Галуа[править | править вики-текст]

Если F — расширение Галуа поля K, а E — какое-нибудь промежуточное подполе K \subset E \subset F, то группа Галуа \operatorname{Gal}(F/E) по определению состоит из всех автоморфизмов F, оставляющих элементы E неподвижными. Если \sigma — какой-нибудь автоморфизм полной группы Галуа \operatorname{Gal}(F/K), отображающий E на \sigma(E) то, очевидно, что

\operatorname{Gal}(F/\sigma E) = \sigma \operatorname{Gal}(F/E) \sigma^{-1}

Поэтому расширение E нормально тогда и только тогда, когда подгруппа \operatorname{Gal}(F/E) является нормальной подгруппой в \operatorname{Gal}(F/K) (отсюда и терминология).

Литература[править | править вики-текст]