Нормальное расширение

Норма́льное расшире́ние — алгебраическое расширение поля EÉ K для которого каждый неприводимый многочлен f(x) над K, имеющий хотя бы один корень в E, разлагается в E на линейные множители.

Равносильное определение: Если KÌ EÌ K^*, где K^* — алгебраическое замыкание поля К, то E нормально если любой изоморфизм σ E в алгебраическое замыкание K^* над K является автоморфизмом поля E.

Нормальное расширение как поле разложения

Всякое расширение EÉ K является нормальным тогда и только тогда, когда E является полем разложения некоторого множества многочленов из K[x]

Нормальные расширения в соответствии Галуа

Если F — расширение Галуа поля K, а E — какое-нибудь промежуточное подполе KÌ EÌ F, то группа Галуа Gal(F/E) по определению состоит из всех автоморфизмов F, оставляющих элементы E неподвижными. Если σ — какой-нибудь автоморфизм полной группы Галуа Gal(F/K), отображающий E на σ(E) то, очевидно, что

Gal(F/σE)=σGal(F/E)σ^-1

Поэтому расширение E нормально тогда и только тогда, когда подгруппа Gal(F/E) является нормальной подгруппой в Gal(F/K) (отсюда и терминология).

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, том 1. М.: ИЛ, 1963.
• Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1967.