Нормальное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нормальное число по основанию n (n \in \mathbb{N}, n \geqslant 2) — всякое действительное число, в записи которого в n-ричной системе счисления каждая группа из k последовательных цифр встречается с одной и той же асимптотической частотой, равной n-k для каждого k = 1, 2, ….

Числа, нормальные по любому основанию n, называются нормальными или абсолютно нормальными.

Основные свойства и примеры[править | править исходный текст]

Понятие нормального числа было введено Эмилем Борелем в 1909 году. Используя лемму Бореля — Кантелли он доказал, что мера Лебега ненормальных чисел равна 0. Таким образом, почти все действительные числа нормальны. С другой стороны, числа, в десятичной записи которых отсутствует цифра 0, ненормальны. Поэтому множество ненормальных чисел несчётное.

Д. Чамперноун доказал, что число, являющееся конкатенацией десятичных записей последовательных целых чисел – 0,1234567891011121314151617…, нормально по основанию 10[1]. В то же время неизвестно нормально ли это число по другим основаниям. Для аналогичного числа 0,(1)(10)(11)(100)(101)(110)(111)(1000)(1001)…, записанного в двоичной системе счисления, также доказано, что оно нормально по основанию 2[2].

В 2002 году Бехер и Фигейра[3] доказали, что существует вычислимое абсолютно нормальное число.

Открытые проблемы[править | править исходный текст]

Существует общее мнение, что числа π и e нормальны. Однако даже подходы к доказательству этого не ясны.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. D. G. Champernowne, The construction of decimals normal in the scale of ten, Journal of the London Mathematical Society, vol. 8 (1933), p. 254-260
  2. Bailey, D. H.; Crandall, R. E. Random Generators and Normal Numbers // Exper. Math. — 2002. — Т. 11. — С. 527—546.
  3. Becher, V. & Figueira, S. (2002), "«An example of a computable absolutely normal number»", Theoretical Computer Science Т. 270: 947–958, DOI 10.1016/S0304-3975(01)00170-0 

Ссылки[править | править исходный текст]