Нормальное число

Норма́льное число́ по основанию n ($n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2$) — всякое действительное число, в записи которого в n-ричной системе счисления произвольная группа из k последовательных цифр встречается с одной и той же асимптотической частотой, равной n^-k для каждого k = 1, 2, ….

Числа, нормальные при записи их по любому основанию n, называются нормальными, или абсолютно нормальными.

Основные свойства и примеры

Любое рациональное число в записи по любому основанию ненормально. Это следует из того факта, что в записи рационального числа существует период. Например, 1/3 = 0,33333… не имеет в записи наперёд заданной последовательности цифр и потому не является нормальным. Отсюда следует, что нормальными числами могут являться только иррациональные числа.

Так как в записи нормального числа содержится любая наперёд заданная последовательность цифр, из этого следует, что начиная с некоторой цифровой позиции в записи любого нормального числа закодированы все созданные и пока не созданные литературные произведения, изображения, кинофильмы и др. Например, в десятичной записи числа $\pi$ последовательность 0123456789 впервые начинается с 17 387 594 880-го знака после запятой. До сих пор (на 2024 год) неизвестно, является ли число $\pi$ нормальным.

История

Понятие нормального числа было введено Эмилем Борелем в 1909 году. Используя лемму Бореля — Кантелли он доказал, что мера Лебега ненормальных чисел равна 0. Таким образом, почти все действительные числа нормальны. С другой стороны, числа, в десятичной записи которых отсутствует цифра 0, ненормальны. Поэтому множество ненормальных чисел несчётное.

Д. Чамперноун доказал, что число, являющееся конкатенацией десятичных записей последовательных целых чисел – 0,1234567891011121314151617…, нормально по основанию 10. В то же время неизвестно, нормально ли это число по другим основаниям. Для аналогичного числа 0,(1)(10)(11)(100)(101)(110)(111)(1000)(1001)…, записанного в двоичной системе счисления, также доказано, что оно нормально по основанию 2.

В 2002 году Бехер и Фигейра доказали, что существует вычислимое абсолютно нормальное число.

Открытые задачи

• Являются ли числа π и e нормальными?
• С одной стороны, неизвестно, верно ли, что любое иррациональное алгебраическое число нормально; с другой стороны, не известен ни один пример иррационального алгебраического числа, про которое доказано, что оно ненормально.

См. также

• Точка Фейнмана
• Пи (число)

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Normal Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Champernowne Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.