Норма матрицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике матрицы (фиксированного размера) образуют линейное пространство, но определений нормы для них существует много. Данная статья рассматривает только конечные матрицы, так что их пространство конечномерно и потому все эти нормы эквивалентны, т.е. задают одно и то же линейное топологическое пространство.

Требования к определению[править | править вики-текст]

Пусть K — основное поле (обычно K = R или K = C) и K^{m \times n} — линейное пространство всех матриц с m строками и n столбцами, состоящих из элементов K.

Во-первых, матричная норма обязана делать K^{m \times n} нормированным пространством, т.е. удовлетворять соответственным аксиомам.

В случае квадратных матриц (т.е. m = n), матрицы можно перемножать не выходя из пространства, и потому нормы в этих пространствах обычно также удовлетворяют свойству субмультипликативности:

\|AB\| \le \|A\|\|B\| для всех матриц A и B в K^{n \times n}.

Субмультипликативность может выполняться также и для норм неквадратных матриц, но определённых сразу для нескольких нужных размеров. Именно, если A — матрица  × m, и B — матрица m × n, то A B — матрица  × n.

Операторные нормы[править | править вики-текст]

Важным классом матричных норм являются операторные нормы, также именуемые подчинёнными или индуцированными. Операторная норма однозначно строится по двум нормам, определённым в K^n и K^m, исходя из того, что всякая матрица m × n представляется линейным оператором из K^n в K^m. Конкретно,

 \begin{align}
\|A\| &= \max\{\|Ax\| : x\in K^n,\ \|x\|= 1\} \\
&= \sup\left\{\frac{\|Ax\|}{\|x\|} : x\in K^n,\ x\ne 0\right\}.
\end{align} [1]

При условии согласованного задания норм на пространствах векторов, такая норма является субмультипликативной (см. выше).

Прочие определения[править | править вики-текст]

«Векторные» нормы[править | править вики-текст]

Данные определения не предполагают субмультипликативность.

Норма Фробениуса[править | править вики-текст]

Это частный случай p-нормы для p = 2. В нём субмультипликативность-таки выполняется.

Максимум модуля[править | править вики-текст]

Норма максимума модуля — другой частный случай p-нормы для p = ∞.

 \|A\|_{\text{max}} = \max \{|a_{ij}|\}.

Норма Шаттена[править | править вики-текст]

Совместимость матричной и векторных норм[править | править вики-текст]

Матричная норма \| \cdot \|_{ab} на K^{m \times n} называется совместимой с нормами \| \cdot \|_{a} на K^n и \| \cdot \|_{b} на K^m, если:

\|Ax\|_b \leq \|A\|_{ab} \|x\|_a

для любых A \in K^{m \times n}, x \in K^n. Операторная норма по своему построению является совместимой с исходными векторными нормами.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]