Норма (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.

Определение[править | править вики-текст]

Норма вектора[править | править вики-текст]

Норма в векторном пространстве V\ над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал p\colon V \to \mathbb{R}, обладающий следующими свойствами:

  1. p(x)=0 \Rightarrow x=0_V;
  2. \forall x,y \in V, p(x+y)\leqslant p(x)+p(y) (неравенство треугольника);
  3. \forall \alpha \in \C, \forall x \in V, p(\alpha\, x)=|\alpha|p(x).

Эти условия являются аксиомами нормы.

Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1–3) — также аксиомами нормированного пространства.

Из аксиом нормы очевидным образом вытекает свойство неотрицательности нормы:

\forall x \in V, p(x)\geqslant 0.

Действительно, из третьего свойства следует: p(0_V)=p(0\cdot0_V)=0\cdot p(0_V)=0, а из свойства 2 — \forall x\in V\colon 0=p(0_V)=p(x-x)\leqslant p(x)+p(-x)=2p(x).

Чаще всего норму обозначают в виде: \| \cdot  \|. В частности, \| x\|  — это норма элемента x векторного пространства \R.

Вектор с единичной нормой (\| x\|=1 ) называется единичным или нормированным.

Любой ненулевой вектор x можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор \frac{x}{\|x\|} имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем сонаправленный вектор единичной длины.

Норма матрицы[править | править вики-текст]

Нормой матрицы A называется вещественное число \|A\|, удовлетворяющее первым трём из следующих условий:

  1. \|A\| \geqslant 0, причём \|A\| = 0 только при A = 0\ ;
  2. \|\alpha A\| = |\alpha| \cdot \|A\|, где \alpha\in\R;
  3. \|A + B\| \leqslant \|A\| + \|B\|;
  4. \|AB\| \leqslant \|A\| \cdot \|B\|.

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется субмультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы субмультипликативны.

Матричная норма \| \cdot \|_{ab} из K^{m \times n} называется согласованной с векторной нормой \| \cdot \|_{a} из K^n и векторной нормой \| \cdot \|_{b} из K^m если справедливо:


\|Ax\|_b \leqslant \|A\|_{ab} \|x\|_a

для всех A \in K^{m \times n}, x \in K^n.

Норма оператора[править | править вики-текст]

Норма оператора A — число, которое определяется, как:

\|A\| = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|,
где A — оператор, действующий из нормированного пространства L в нормированное пространство K.

Это определение эквивалентно следующему:

\|A\| = \sup_{x\ne 0}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}
  • Свойства операторных норм:
  1. \|A\| \geqslant 0, причём \|A\| = 0 только при A = 0;
  2. \|\alpha A\| = |\alpha| \cdot \|A\|, где \alpha\in\mathbb{R};
  3. \|A + B\| \leqslant \|A\| + \|B\|;
  4. \|AB\| \leqslant \|A\| \cdot \|B\|.

В конечномерном случае, оператору в некотором базисе соответствует матрица — матрица оператора. Если норма на пространстве(пространствах), где действует оператор, допускает одно из стандартных выражений в базисе, то свойства нормы оператора повторяют аналогичные свойства нормы матрицы.

Свойства нормы[править | править вики-текст]

  1.  \mid \| x \| - \| y \| \mid \le \| x \pm y \| \le \| x\| + \| y \|
  2.  (\| x \| - \| y \|)^2 \le \| x \pm y \|^2 \le (\| x \| + \|y \|)^2
  3.  \frac {\|x\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2}{2\|x\|\|y\|}\in [-1,1] [косинус угла]
  4.  \|0_V\|=\|x-x\|=\|0x\|=0\cdot\|x\|=0
  5.  0=\|x-x\|\leqslant\|x\|+\|-x\|=2\|x\| \Rightarrow \|x\|\geqslant0

Эквивалентность норм[править | править вики-текст]

  • Две нормы p и q на пространстве V называются эквивалентными, если существует две положительные константы C_1 и C_2 такие, что для любого x \in V выполняется C_1 p(x) \leqslant q(x) \leqslant C_2 p(x). Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.

Примеры[править | править вики-текст]

Линейные нормированные пространства[править | править вики-текст]

\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle},\quad x \in X.

где p \geqslant 1 (обычно подразумевается, что это натуральное число). В частности:

  • \|x\|_1 = \sum_{i} |x_{i}|
  • \|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i} |x_{i}|^2} (евклидова норма),
  • \|x\|_\infty = \max |x_{i}| (это предельный случай p \rightarrow \infty).
  • Аналогично можно ввести нормы для конечномерных векторных функций конечномерных векторных аргументов, заменив |f(x)|\ на \|f(x)\|\ , а интегрирование по отрезку интегрированием по области (максимум же на отрезке — в соответствующем случае — максимумом на области).

Некоторые виды матричных норм[править | править вики-текст]

Здесь A^\dagger — сопряжённая к A матрица, \mathrm{Tr} — след матрицы.

Связанные понятия[править | править вики-текст]

Топология пространства и норма[править | править вики-текст]

Норма задаёт на пространстве метрику (в смысле — функцию расстояния метрического пространства), порождая таким образом метрическое пространство, а значит топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида B(x,r)=\{y\colon\|x-y\|<r\}. Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.

См. также[править | править вики-текст]