Нормирование

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Норми́рование — отображение элементов поля F или целостного кольца в некоторое упорядоченное поле P x\mapsto ||x||, обладающее следующими свойствами:

1) ~||x|| \geqslant 0 и ~||x|| = 0 только при  x = 0
2)  ~||xy|| = ||x|| \cdot ||y||
3)  ||x+y|| \leqslant ||x||+||y||

Если вместо 3) выполняется более сильное условие:

3a)  ||x+y|| \leqslant \max(||x||,||y||) , то нормирование называется неархимедовым.

Значение ~||x|| называется нормой элемента x. Если упорядоченное поле P является полем вещественных чисел R, то нормирование часто называют абсолютным значением.

Примеры нормирований[править | править вики-текст]

  • Нормирование, при котором ||0||=0, ||x||=1 для остальных x. Такое нормирование называется тривиальным.
  • Обычная абсолютная величина в поле вещественных чисел \mathbb{R} и модуль в поле комплексных чисел \mathbb{C} являются нормированием.
  • Пусть \mathbb{Q} — поле рациональных чисел, а p — некоторое простое число. Любое рациональное число можно представить в виде дроби x=p^n\frac{a}{b}, где a и b не кратны p. Можно определить следующее нормирование |x|_p=p^{-n}. Это нормирование является неархимедовым и называется p-адическим нормированием.

Свойства нормы[править | править вики-текст]

  •  |1| = |-\!1| = 1
  • Для вещественнозначного нормирования выполняется свойство  |\;|x|-|y|\;| \leqslant |x-y| (здесь предполагается, что на поле вещественных чисел задана обычная норма - модуль числа)
  • Вещественнозначное нормирование является неархимедовым тогда и только тогда, когда существует положительное число A, такое, что для любой суммы единичных элементов поля F:
3b)  || 1+1+...+1 || \leqslant A

Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов x и y из поля F имеем:

 |(x+y)^n|=|x^n+ \ldots +C_n^i\,x^{n-i}\,y^i+ \ldots +y^n| \leqslant (n+1)A[\max(|x|,|y|)]^n

Извлекая из обеих частей корень и переходя к пределу при n \to \infty, получаем условие 3a).[источник не указан 412 дней] Обратное утверждение очевидно.[источник не указан 412 дней]

Нормированное поле как метрическое пространство[править | править вики-текст]

Из свойств 1-3 немедленно следует, что, определяя расстояние между двумя элементами вещественнозначного нормированного поля F как норму разности  ||x-y|| , мы превращеем его в метрическое пространство, в случае неархимедовой нормы — в ультраметрическое пространство. Разные нормы определяют разные метрики. Если при этом они определяют одинаковую топологию в F, то такие нормы называются зависимыми.

Пополнение[править | править вики-текст]

Как и для любого метрического пространства, можно ввести понятие полноты и доказать, что любое нормированное поле F изоморфно вкладывается в полное нормированное поле F*, то есть существует изоморфизм i:F \rightarrow F^*. Норма в F* продолжает норму в F, то есть для каждого x из F: ||i(x)||_{F^*}=||x||, причём F плотно в F* относительно этой нормы. Любое такое поле F* определено однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего нормы (изометрии) и тождественного на F; оно называется пополнением поля F.

Пример. Пополнением поля рациональных чисел  \mathbb{Q} с p-адической метрикой является поле p-адических чисел  \mathbb{Q}_p .

Экспоненциальное нормирование[править | править вики-текст]

Пусть v — отображение из мультипликативной группы поля K^* в некоторую вполне упорядоченную абелеву группу, такое, что

1) v(xy)=v(x)+v(y)
2) v(x+y)\geqslant \text{min}(x,y)

Удобно также доопределить эту функцию в нуле: v(0)=\infty. Групповая операция на \infty определена следующим образом: a+\infty=\infty+a=\infty для любого a, \infty упорядочена таким образом, чтобы быть больше всех элементов первоначальной группы. При этом свойства 1) и 2) остаются верными.

В терминологии Бурбаки функция с такими свойствами называется нормированием. Также термин «нормирование» для такой функции используют Атья и Макдональд[1] и Ленг.[2] Однако некоторые авторы оставляют термин «нормирование» для функции, обладающей свойствами, перечисленными в начале этой статьи, а нормирование в терминах Бурбаки называют экспоненциальным нормированием. Область значений отображения v называют группой нормирования, а множество тех элементов x поля K, для которых v(x)\geqslant 0 — кольцом нормирования (обозначение — R_v), нетрудно проверить, что оно действительно является кольцом.

Дискретное нормирование — это экспоненциальное нормирование, являющееся отображением в аддитивную группу целых чисел. В этом случае кольцо нормирования называется кольцом дискретного нормирования.

Литература[править | править вики-текст]

  1. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру, с. 115.
  2. Ленг С. Алгебра, с. 337.
  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 2.
  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.