Носитель функции
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Содержание |
[править] Носитель классической функции
Носитель функции u, определённой на множестве X — это замыкание подмножества X, на котором вещественнозначная функция u не обращается в ноль:
Наиболее распространённым является случай, когда функция u определена на топологическом пространстве X и является непрерывной. В таком случае носитель определяется, как наименьшее замкнутое подмножество X, за пределами которой u не равняется нулю.
Топологический носитель — это замыкание носителя в теории множеств.
[править] Компактный носитель
Фукции с компактным носителем на X — те, носитель которых является компактным подмножеством X.
Например, если X — это вещественная прямая, то все непрерывные функции, обнуляющиеся при | x | > C, являются функциями с компактным носителем.
Функция называется финитной, если её носитель компактен.
[править] Носитель обобщённой функции
Также можно ввести понятие носителя для обобщенной функции, то есть для функционала на множестве бесконечногладких финитных функций.
[править] Формальное определение
Рассмотрим обобщённую функцию f и все множества K такие, что если финитная функция 
обнуляется на множестве K, то значение 
равно 0.
Наименьшее (по включению) из таких множеств называется носителем обобщённой функции f. (Иначе можно сказать, что 
является пересечением всех таких K).
Стоит отметить, что носитель обобщённой функции будет непустым компактным множеством.
[править] Замечание
Заметим, что такое определение носителя не совпадает с классическим. Действительно, обобщённая функция f определена на пространстве бесконечно гладких финитных функций 
, а значит, классический носитель должен быть подмножеством , в то время как носитель обобщённой функции есть подмножество X.
[править] Примеры
В качестве примера можно рассмотреть функцию Дирака δ(x).
Возьмем любую бесконечно гладкую финитную функцию с носителем, не включающим точку 0. Так как 
(δ применяется как линейный функционал к ) равно нулю для таких функций, мы можем сказать, что носитель δ — это только точка {0}.
[править] Сингулярный носитель
В анализе Фурье в частности, интересно изучить сингулярный носитель обобщённой функции. Он имеет интуитивную интерпретацию, как набор точек, в которых «обобщённая функция не сводится к обычной».
[править] Формальное определение
Пусть f — обобщённая функция. Ее можно представить в виде f = u + v, где u — регулярная обобщённая функция, а v — сингулярная обобщённая функция. (Такое представление, вообще говоря, не единственно.)
Пересечение носителей 
по всем возможным разложениям f = u + v называется сингулярным носителем обобщённой функции f.
Классическое обозначение сингулярного носителя 
.
[править] Примеры
Так, сингулярным носителем для функции Дирака является точка 0.
В данном частном случае сингулярный носитель и просто носитель обобщённой функции совпадают. Однако, это не есть общее свойство. Например, для обобщённой функции, действующей по формуле
носителем будет отрезок ![[0,\;1]](http://upload.wikimedia.org/math/d/d/f/ddf0c958b669535b66c01d280d9c5cd3.png)
, а сингулярным носителем точка 0.
Другим примером является преобразование Фурье для шаговой функции Хевисайда может быть рассмотрено с точностью до константы как 1 / x, за исключением точки, в которой x = 0. Так как это очевидно особая точка, то более точным является формулировка, что преобразование в качестве распределения имеет сингулярный носитель {0}.
Для распределений с несколькими переменными, сингулярные носители позволяют определять множества волнового фронта и понять принцип Гюйгенса в терминах математического анализа. Сингулярные носители также могут быть использованы для понимания феноменов, специфичных для теории распределений, таких как попытки перемножения распределений (возведение в квадрат дельты-функции Дирака невозможно, в основном потому, что сингулярные носители распределений, которые перемножаются должны быть разделены).
Важное применение сингулярный носитель находит в теории псевдодифференциальных операторов (ПДО), в частности в теореме о псевдолокальности ПДО.
[править] Носитель меры
Так как меры (включая меры вероятности) на вещественной прямой являются особыми случаями обобщённых функций (распределений), мы также можем говорить о носителе меры таким же образом.
[править] См. также
[править] Литература
- Шубин М. А. Псевдо-дифференциальные операторы и спектральная теория. — 2-е изд. — М.: «Добросвет», 2003.
