Носитель функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Носи́тель фу́нкции — замыкание множества, на котором функция отлична от нуля.

Носитель классической функции[править | править вики-текст]

Носитель функции u\colon X\to\R — это замыкание подмножества X, на котором вещественнозначная функция u не обращается в нуль:

\mathrm{supp}\,u=\overline{\left\{x\mid u(x)\ne 0\right\}}.

Наиболее распространённым является случай, когда функция u определена на топологическом пространстве X и является непрерывной. В таком случае носитель определяется как наименьшее замкнутое подмножество X, за пределами которого u равняется нулю.

Компактный носитель[править | править вики-текст]

Функции с компактным носителем на X — те, носитель которых является компактным подмножеством X.

Например, если X — это вещественная прямая, то все непрерывные функции, обнуляющиеся при |x|>C, являются функциями с компактным носителем.

Функция называется финитной, если её носитель компактен.

Носитель обобщённой функции[править | править вики-текст]

Также можно ввести понятие носителя для обобщённой функции, то есть для функционала на множестве бесконечногладких финитных функций.

Формальное определение[править | править вики-текст]

Рассмотрим обобщённую функцию f и все множества K такие, что если финитная функция \varphi обнуляется на множестве K, то значение (f,\;\varphi) равно 0.

Наименьшее (по включению) из таких множеств называется носителем обобщённой функции f. (Иначе можно сказать, что \mathrm{supp}\,f является пересечением всех таких K).

Стоит отметить, что носитель обобщённой функции будет непустым компактным множеством.

Замечание[править | править вики-текст]

Заметим, что такое определение носителя не совпадает с классическим. Действительно, обобщённая функция f определена на пространстве бесконечно гладких финитных функций C_0^{\infty}(X), а значит, классический носитель должен быть подмножеством C_0^{\infty}(X), в то время как носитель обобщённой функции есть подмножество X.

Примеры[править | править вики-текст]

В качестве примера можно рассмотреть функцию Дирака \delta(x).

Возьмём любую финитную функцию \varphi с носителем, не включающим точку 0. Так как (\delta,\;\varphi) (\delta применяется как линейный функционал к \varphi) равно нулю для таких функций, мы можем сказать, что носитель \delta — это только точка \{0\}.

Сингулярный носитель[править | править вики-текст]

В анализе Фурье в частности, интересно изучить сингулярный носитель обобщённой функции. Он имеет интуитивную интерпретацию, как набор точек, в которых «обобщённая функция не сводится к обычной».

Формальное определение[править | править вики-текст]

Пусть f — обобщённая функция. Её можно представить в виде f=u+v, где u — регулярная обобщённая функция, а v — сингулярная обобщённая функция. (Такое представление, вообще говоря, не единственно.)

Пересечение носителей \mathrm{supp}\,v по всем возможным разложениям f=u+v называется сингулярным носителем обобщённой функции f.

Классическое обозначение сингулярного носителя \mathrm{sing\,supp}\,f.

Примеры[править | править вики-текст]

Так, сингулярным носителем для функции Дирака является точка 0.

В данном частном случае сингулярный носитель и просто носитель обобщённой функции совпадают. Однако, это не есть общее свойство. Например, для обобщённой функции, действующей по формуле

(f,\;\varphi)=\int\limits_0^1\varphi\, dx+\varphi(0),

носителем будет отрезок [0,\;1], а сингулярным носителем точка 0.

Другим примером является преобразование Фурье для шаговой функции Хевисайда может быть рассмотрено с точностью до константы как 1/x, за исключением точки, в которой x=0. Так как это очевидно особая точка, то более точным является формулировка, что преобразование в качестве распределения имеет сингулярный носитель \{0\}.

Для распределений с несколькими переменными, сингулярные носители позволяют определять множества волнового фронта и понять принцип Гюйгенса в терминах математического анализа. Сингулярные носители также могут быть использованы для понимания феноменов, специфичных для теории распределений, таких как попытки перемножения распределений (возведение в квадрат дельты-функции Дирака невозможно, в основном потому, что сингулярные носители распределений, которые перемножаются должны быть разделены).

Важное применение сингулярный носитель находит в теории псевдодифференциальных операторов (ПДО), в частности в теореме о псевдолокальности ПДО.

Носитель меры[править | править вики-текст]

Так как меры (включая меры вероятности) на вещественной прямой являются особыми случаями обобщённых функций (распределений), мы также можем говорить о носителе меры таким же образом.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. — 2-е изд. — М.: «Добросвет», 2003.