Нотация Фойгта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нотация Фойгта — матричная форма записи симметричного тензора 4-го ранга. Впервые была предложена немецким физиком В.Фойгтом для тензора упругости в формулировке закона Гука для анизотропных материалов.

Обозначения[править | править вики-текст]

Если тензор 4-ранга ~c_{ijkl} обладает симметрией по первой и второй паре индексов

~c_{ijkl}=c_{jikl},
~c_{ijkl}=c_{ijlk},

то его элементы могут быть записаны в виде матрицы 6x6, используя следующую подстановку индексов:

~11 \rightarrow 1
~22 \rightarrow 2
~33 \rightarrow 3
~23, 32 \rightarrow 4
~13, 31 \rightarrow 5
~12, 21 \rightarrow 6.

Например, компонента ~c_{3122} будет соответствовать элементу матрицы ~C_{52}.

Используя те же подстановки индексов, можно записывать симметричные тензоры 2 ранга в виде 6 векторов. При таком представлении результат умножения тензоров, вообще говоря, не соответствуют результату перемножения матриц. Для того, чтобы операция тензорного умножения могла быть записана в виде умножения матриц, может потребоваться введение дополнительных множителей.

Матричная запись закона Гука[править | править вики-текст]

Закон Гука в тензорном виде имеет вид (здесь и далее используется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам):

~\sigma_{ij}=c_{ijkl} \varepsilon_{kl},

где ~\sigma_{ij} и ~\varepsilon_{kl} — тензоры напряжения и деформации. Так как эти тензоры являются симметричными, то тензор модулей упругости ~c_{ijkl} обладает необходимой степенью симметрии для того, чтобы его возможно было записать в матричном виде. Более того, из соотношения

~c_{ijkl}=\frac{\partial^2 F}{\partial \varepsilon_{ij} \partial \varepsilon_{kl}},

где F — свободная энергия в случае изотермической деформации, или внутренняя энергия при адиабатической деформации, следует ~c_{ijkl}=c_{klij}. Отсюда следует, что существует только 21 линейно независимая компонента тензора упругих постоянных.[1] Поэтому матрица ~C_{\alpha\beta}, составленная из компонент ~c_{ijkl}, будет симметричной. Закон Гука может быть записан в следующем виде:

~\sigma_\alpha = C_{\alpha\beta} \epsilon_\beta,

где индексы ~\alpha, \beta пробегают значения от 1 до 6, или:

\begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12}\end{pmatrix}=
 \begin{pmatrix} c_{1111} & c_{1122} & c_{1133} & c_{1123} & c_{1113} & c_{1112} \\
                 \cdot    & c_{2222} & c_{2233} & c_{2223} & c_{2213} & c_{2212} \\
                 \cdot    &  \cdot   & c_{3333} & c_{3323} & c_{3313} & c_{3312} \\
                 \cdot    &  \cdot   &  \cdot   & c_{2323} & c_{2313} & c_{2312} \\
                 \cdot    &  \cdot   &  \cdot   &  \cdot   & c_{1313} & c_{1312} \\
                 \cdot    &  \cdot   &  \cdot   &  \cdot   &  \cdot   & c_{1212} \\
 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{13} \\ 2\varepsilon_{12}\end{pmatrix}

В данной записи коэффициент 2 при компонентах тензора деформации ~\varepsilon_{23}, ~\varepsilon_{13}, ~\varepsilon_{12} необходим для того, чтобы матричные уравнения в точности соответствовали тензорным. Например, в законе Гука в уравнение для компоненты ~\sigma_{11} входит слагаемое ~c_{1123} \varepsilon_{23} + c_{1132} \varepsilon_{32}, которое в матричной записи соответствует слагаемому ~c_{1123} 2\varepsilon_{23}.

Закон Гука может быть записан в эквивалентной тензорной форме, через тензор модулей податливости ~s_{ijkl}:

~\varepsilon_{ij}=s_{ijkl} \sigma_{kl}

Тензор ~s_{ijkl} характеризуется той же степенью симметрии, что и ~c_{ijkl}. Поэтому его компоненты тоже можно записать в виде матрицы 6x6 элементов. Однако данная матрица не будет обратной к матрице ~C_{\alpha\beta}.

Обратное матричное уравнение ~\epsilon_\alpha = S_{\alpha\beta} \sigma_\beta, где ~S = C^{-1}, выглядит следующим образом:


\begin{pmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{13} \\ 2\varepsilon_{12}\end{pmatrix} =
 \begin{pmatrix} s_{1111} & s_{1122} & s_{1133} & 2s_{1123} & 2s_{1113} & 2s_{1112} \\
                 \cdot    & s_{2222} & s_{2233} & 2s_{2223} & 2s_{2213} & 2s_{2212} \\
                 \cdot    &  \cdot   & s_{3333} & 2s_{3323} & 2s_{3313} & 2s_{3312} \\
                 \cdot    &  \cdot   &  \cdot   & 4s_{2323} & 4s_{2313} & 4s_{2312} \\
                 \cdot    &  \cdot   &  \cdot   &  \cdot   & 4s_{1313} & 4s_{1312} \\
                 \cdot    &  \cdot   &  \cdot   &  \cdot   &  \cdot   & 4s_{1212} \\
 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12}\end{pmatrix}

Примеры[править | править вики-текст]

Тензор упругости изотропного материала[править | править вики-текст]

Упругие свойства определяются 2 постоянными (в данном примере — постоянными Ламэ \lambda и \mu)


 \begin{pmatrix} \lambda+2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\
                 \lambda    & \lambda+2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\
                 \lambda    &  \lambda  & \lambda+2\mu & 0 & 0 & 0 \\
                 0    &  0   &  0   & \mu & 0 & 0 \\
                 0    &  0   &  0   &  0   & \mu & 0 \\
                 0    &  0   &  0   &  0   &  0   & \mu \\
 \end{pmatrix}

Тензор упругости материала с гексагональной симметрией[править | править вики-текст]

Тело, обладающее гексагональной симметрией, характеризуется наличием оси симметрии (в данном случае x_3), при повороте вокруг которой свойства не меняются. Описывается 5 независимыми упругими постоянными.


 \begin{pmatrix} c_{1111} & c_{1122} & c_{1133} & 0 & 0 & 0 \\
                 c_{1122} & c_{1111} & c_{1133} & 0 & 0 & 0 \\
                 c_{1133} & c_{1133} & c_{3333} & 0 & 0 & 0 \\
                 0    &  0   &  0   & c_{2323} & 0 & 0 \\
                 0    &  0   &  0   &  0   & c_{2323} & 0 \\
                 0    &  0   &  0   &  0   &  0   & \frac{1}{2}(c_{1111}-c_{1122}) \\
 \end{pmatrix}

Единичная матрица[править | править вики-текст]

Единичной матрице соответствует единичный «симметризующий» тензор ~I:

~I_{ijkl}=\frac{1}{2}(\delta_{ik} \delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk})

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Фильтры на поверхностных акустических волнах (расчёт, технология и применение) = Surface wave filters: design, constructin, and use / Под ред. В. Б. Акпамбетова. — М.: Радио и связь, 1981. — С. 11. — 472 с. — 5000 экз.

Литература[править | править вики-текст]

  1. М.А. Акивис, В.В. Гольдберг Тензорное исчисление. — М.: Наука, 1969. — 352 с.
  2. В. Новацкий Теория упругости / пер. Б. Е. Победря. — М.: "Мир", 1975. — 871 с.
  3. Т.Д. Шермергор Теория упругости микронеоднородных сред. — М.: "Наука", 1977. — 399 с.