Нулевой морфизм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории категорий нулевой морфизм — это морфизм, обобщающий свойства линейных отображений в ноль.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть C — категория, и f : XY — морфизм в C. f называется постоянным морфизмом, если для любого объекта W в C и любых g, h : WX, fg = fh. Соответственно, f называется копостоянным морфизмом, если для любого объекта Z и любых g, h ∈ MorC(Y, Z), gf = hf. Нулевой морфизм — это морфизм, являющийся одновременно постоянным и копостоянным.

Категория с нулевыми морфизмами — это категория, в которой для любых двух объектов A и B зафиксирован морфизм 0AB : AB, такой что для любых объектов X, Y, Z в C и любых морфизмов f : YZ, g : XY следующая диаграмма коммутативна:

ZeroMorphism.png

Тогда морфизмы 0XY обязательно являются нулевыми. Если C — категория с нулевыми морфизмами, то 0XY определены однозначно.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Более общо, пусть C — категория с нулевым объектом 0. Тогда для любых двух объектов X и Y существует единственная последовательность морфизмов
0XY : X0Y
Семейство таких морфизмов снабжает C структурой категории с нулевыми морфизмами.
  • Если C — предаддитивная категория, то каждое множество морфизмов set Mor(X,Y) является абелевой группой и имеет нулевой элемент. Эти нулевые элементы образуют семейство нулевых морфизмов, делая C категорией с нулевыми морфизмами.

Литература[править | править вики-текст]

  • Параграф 1.7 Pareigis Bodo Categories and functors. — Academic Press, 1970. — Vol. 39. — ISBN 978-0-12-545150-5
  • Category Theory. — Allen and Bacon, Inc. Boston, 1973..