Нуль функции

Нули косинуса на интервале [-2π,2π] (красные точки)

Нуль функции в математике — элемент из области определения функции, в котором она принимает нулевое значение. Например, для функции $f$, заданной формулой

$f(x)=x^2-6x+9 \,.$

$x = 3$ является нулём, поскольку

$f(3) = 3^2 - 6(3) + 9 = 0$.

Понятие нулей функции можно рассматривать для любых функций, область значений которых содержит нуль или нулевой элемент соответствующей алгебраической структуры.

Для функции действительного переменного $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ нулями являются значения, в которых график функции пересекает ось абсцисс.

Нахождение нулей функции часто требует использования численных методов (к примеру, метод Ньютона, градиентные методы).

Одной из нерешённых математических проблем является нахождение нулей дзета-функции Римана.

Корень многочлена

Задача нахождения нулей квадратного трёхчлена привела к появлению понятия комплексных чисел.

Основная теорема алгебры утверждает, что каждый многочлен степени n имеет n комплексных корней, учитывая их кратность. Комплексные корни всегда входят сопряжёнными парами. Каждый многочлен нечётной степени имеет по крайней мере один действительный корень. Связь между корнями многочлена и его коэффициентами устанавливает теорема Виета.

Комплексный анализ

Простой нуль аналитической в некоторой области $G\subset\mathbb C$ функции $f$ — точка $z_0\in G$, в некоторой окрестности которой справедливо представление $f(z)=(z-z_0)g(z)$, где $g$ аналитична в $z_0$ и не обращается в этой точке в нуль.

Нуль порядка $k$ аналитической в некоторой области $G\subset\mathbb C$ функции $f$ — точка $z_0\in G$, в некоторой окрестности которой справедливо представление $f(z)=(z-z_0)^kg(z)$, где $g$ аналитична в $z_0$ и не обращается в этой точке в нуль.

Нули аналитической функции изолированы.

Другие специфические свойства нулей комплексных функций выражаются в различных теоремах:

• теорема Руше,
• теорема Мардена,
• Теорема Гаусса — Люка

Литература

Нуль функции — статья из Большой советской энциклопедии