Ньютонов потенциал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ньюто́новым потенциа́лом называют функцию, заданную в \R^3 и определяемую как свертка обобщенной функции, называемой в теории потенциала плотностью, с функцией |x|−1:


V=\frac{1}{|x|}*\rho.

Потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона: ΔV=−4πρ.

Объёмный потенциал[править | править исходный текст]

Если ρ — интегрируемая функция на некоторой области G и ρ(x)=0, x\in\R^3\setminus\overline{G}. то ньютонов потенциал, называемый объемным потенциалом можно выразить через интеграл


V(x)=\iiint\limits_G\frac{\rho(y)}{|x-y|}dy

О гладкости потенциала можно сказать следующее. Если ρ ∈ C(G), то V(x) ∈ C1(ℝ3) и ΔV(x) = 0 при x\R^3\setminus\overline{G}.

Потенциал простого слоя[править | править исходный текст]

Вместо области G теперь рассматривается ограниченная кусочно-гладкая поверхность с нормалью n, μ — непрерывная функция на S. Ньютоновым потенциалом простого слоя называется свёртка


V^{(0)}=\frac{1}{|x|}*\mu\delta_S

или в интегральном виде:


V^{(0)}(x)=\iint\limits_S\frac{\mu(y)}{|x-y|}dS_y,

Потенциал простого слоя гармоничен вне области S, является непрерывным всюду в ℝ3 и в бесконечно удаленной точке стремится к нулю. Кроме того, если Sповерхность Ляпунова, то на ней наблюдается разрыв нормальной производной потенциала простого слоя:


\frac{\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf{n}}\Bigg|_+=-2\pi\mu(S)+\frac{\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf{n}}\Bigg|_S,

\frac{\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf{n}}\Bigg|_-=2\pi\mu(S)+\frac{\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf{n}}\Bigg| _S,

где индексы «+» и «-» обозначают соответственно внешнюю и внутреннюю производные на S.

В случае постоянной плотности μ и поверхности Ляпунова потенциал простого слоя равен:


V^{(0)}(x)=\begin{cases}
4\pi\mu\frac{R^2}{|x|},\ |x|\geqslant R, \\
4\pi\mu R,\ |x|<R.
\end{cases}

Потенциал двойного слоя[править | править исходный текст]

Полностью аналогично потенциалу простого слоя вводится ньютоновский потенциал двойного слоя:


V^{(1)}(x)=-\frac{1}{|x|}*\frac{\partial}{\partial\mathbf{n}}(\nu\delta_S)= \iint\limits_S\nu(y)\frac{\partial}{\partial\mathbf{n}_y}\frac{1}{|x-y|}dS_y= \iint\limits_S\mu\frac{\cos\varphi}{|x-y|^2}dS_y,

где φ — угол между нормалью к поверхности S в точке y и радиус-вектором, направленном из точки x в точку y.

Потенциал двойного слоя непрерывен в замыкании области, ограничиваемой поверхностью S, непрерывен вне этой области и непрерывен на самой поверхности S, если она является поверхностью Ляпунова, однако при переходе через поверхность S он претерпевает разрыв:


V^{(1)}_+(S)=2\pi\nu(S)+V^{(1)}(S),

V^{(1)}_-(S)=-2\pi\nu(S)+V^{(1)}(S).

На бесконечности потенциал двойного слоя стремится к нулю.

В случае постоянной плотности ν и поверхности Ляпунова потенциал двойного слоя равен:


V^{(1)}(x)=\begin{cases}
0,\ x\in\R^3\setminus\overline{G}, \\
-2\pi\nu,\ x\in S, \\
-4\pi\nu,\ x\in G.
\end{cases}

Физический смысл ньютоновских потенциалов[править | править исходный текст]

Так как потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона, он может быть создан массами или зарядами, распределенными в пространстве с плотностью ρ. В частности, непрерывное распределение масс или зарядов создает объемный потенциал; если массы или заряды сосредоточены на поверхности, то они создают потенциал простого слоя; если же на поверхности сосредоточены диполи, то это потенциал двойного слоя.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5

Ссылки[править | править исходный текст]

Потенциал в Большой советской энциклопедии