Нётерово кольцо

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нётерово кольцо́ (по имени Э.Нётер) — ассоциативное кольцо А с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва возрастающих цепей: всякая последовательность идеалов (для некоммутативных колец — левых идеалов) p_1\subset p_2\subset\dots\subset p_n\subset \dots стабилизируется, то есть p_n=p_{n+1}=\dots, начиная с некоторого n.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Простейшим примером нётерова кольца является поле, поскольку в нём всего два идеала — {0} и само поле.
  • Ещё один простой пример нётерова кольца — кольцо главных идеалов (КГИ). Например, кольцо многочленов от одной переменной над полем. (Отметим, что не всякое нётерово кольцо является КГИ.)
  • Кольца многочленов от конечного числа переменных над полем являются нётеровыми (но не являются КГИ при числе переменных, большем 2).

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • Если в определении заменить возрастающие цепи на убывающие, то получим определение т. н. артинова кольца.

Свойства[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру, — М.: Мир, 1972.
  • Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра, — М.: ИЛ, 1963.
  • Ленг С. Алгебра, — М.: Мир, 1968.

См. также[править | править исходный текст]