Нётерово пространство

Нётерово простра́нство (по имени Эмми Нётер) — топологическое пространство X, удовлетворяющее условию обрыва убывающих цепей замкнутых подмножеств. То есть для каждой последовательности замкнутых подмножеств $Y_{i}$ пространства X такой, что:

$Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq Y_{3}\supseteq \cdots$

существует целое число r, что $Y_{s}=Y_{r}~\forall s>r.$

Это условие эквивалентно тому, что каждое подмножество $X$ компактно.

Эквивалентные определения

Топологическое пространство $X$ называется нётеровым, если выполнено одно из следующих эквивалентных утверждений:

• $X$ удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей замкнутых подмножеств;
• $X$ удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей открытых подмножеств;
• каждое непустое семейство замкнутых подмножеств в $X$, упорядоченное по включению имеет минимальный элемент;
• каждое непустое семейство открытых подмножеств в $X$, упорядоченное по включению имеет максимальный элемент;
• каждое подмножество $X$ компактно (с топологией подпространства);
• каждое открытое подмножество $X$ компактно.

Свойства

• Хаусдорфово пространство нётерово тогда и только тогда, когда оно конечное (и при этом оно будет дискретным).
• Каждое подпространство пространства Нётер снова является пространством Нётер.
• Если пространство $X$ можно покрыть конечным числом нётеровых подпространств, то $X$ само нётерово.
• Нётерово пространство $X$ представимо в виде объединения конечного числа своих неприводимых компонент.

Примеры

Нётеровы пространства часто встречаются в алгебраической геометрии.

• Пространство $\mathbb {A} _{k}^{n}$ ( аффинное n-мерное пространство над полем k) с топологией Зарисского является топологическим пространством Нётер. Согласно определению топологии Зарисского в $\mathbb {A} _{k}^{n}$ если:

$Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq Y_{3}\supseteq \cdots$

есть убывающая последовательность замкнутых множеств, то:

$I(Y_{1})\subseteq I(Y_{2})\subseteq I(Y_{3})\subseteq \cdots$

является возрастающей последовательностью идеалов $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ ($I(Y_{i})$ обозначает идеал полиномиальных функций, равных нулю в каждой точке $(Y_{i})$). Поскольку $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ является кольцом Нётер, существует целое число $m$, такое что:

$I(Y_{m})=I(Y_{m+1})=I(Y_{m+2})\cdots .$

Учитывая однозначное соответствие между радикальными идеалами $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ и замкнутыми (в топологии Зарисского) множествами $\mathbb {A} _{k}^{n}$ выполняется $V(I(Y_{i}))=Y_{i}$ для всех i. Поэтому: $Y_{m}=Y_{m+1}=Y_{m+2}=\cdots$

• Примерами нётеровых пространств является спектры коммутативных колец. Если $R$ — кольцо Нётер, то пространство $\operatorname {Spec} (R)$ (спектр $R$) является нётеровым.

См. также

• Нётеровость

Литература

• Кузьмин Л. В. . Мёбиуса ряд // Математическая энциклопедия. Т. 3 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Сов. энциклопедия, 1982. — 1184 стб. — Стб. 1028.
• Хартсхорн Р. . Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981. — 597 с.

Ссылки

• Дрозд, Юрий.  Введение в алгебраическую геометрию (недоступная ссылка)