Область значений функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Область значений функции — множество значений, которые принимает функция в результате ее применения. В функции "y = f (x)" Это все значения, которые может принимать y.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть задана функция ~f, которая отображает множество ~X в ~Y, то есть: f: X \to Y; тогда

  • областью значений функции называется подмножество множества ~Y вида
f(X)=\{y\in Y|\, y=f(x),\,x\in X\}
  • и обозначается R(f), E(f), \mathrm{cod}\,f (от англ. codomain «со-область») или \mathrm{ran}\,f (от фр. range «со-область»).

Примеры[править | править вики-текст]

Числовые функции[править | править вики-текст]

Характеристическая функция множества[править | править вики-текст]

Пусть A\subset X. Определим функцию \chi_A\colon X\to\{0,1\}, которая

  • принимает значение 1, если x\in A,
  • и принимает значение 0, в противном случае.

Такая функция называется характеристической функцией множества A.

Поскольку каждому множеству сопоставляется своя характеристическая функция, а любая функция типа \chi_A\colon X\to\{0,1\} определяет некоторое подмножество множества X, то существует взаимнооднозначное соответствие между множеством всех подмножеств множества X вида

\mathfrak{B}(X)=\{A\colon A\subset X\}

и множеством всех отображений множества X в двухэлементное множество 2=\{0,1\}, которое обозначается как 2^{X} и нередко называется булеаном множеств.

Важный случай характеристических функций возникает тогда, когда X=\{1,2,\dots,n\} — конечное множество (n\in\mathbb{N}). Такие функции называются булевскими функциями.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
  • Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
  • И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13 — 21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
  • А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
  • Дж. Л. Келли Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19 — 27. — 423 с.
  • В. А. Зорич Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Фунция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23 — 36. — 544 с.
  • Г. Е. Шилов Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 65 — 69. — 528 с.
  • А. Н. Колмогоров «Что такое функция» // «Квант». — М.: «Наука», 1970. — В. 1. — С. 27-36. — ISSN 0130-2221.