Область определения функции

График функции f(x) = √x, область определения которой — все неотрицательные числа

Область определения  — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.

Определение

Если на множестве $X$ задана функция, которая отображает множество $X$ в другое множество, то множество $X$ называется областью определения или областью задания функции.

Более формально, если задана функция $f$, которая отображает множество $X$ в $Y$, то есть: $f\colon X\to Y$, то множество $X$ называется областью определения или областью задания функции $f$ и обозначается $D(f)$ или $\mathrm {dom} \,f$ (от англ. domain — «область»).

Иногда рассматриваются и функции, определённые на подмножестве $D$ некоторого множества $X$. В этом случае множество $X$ называется областью отправления функции $f$.

Примеры

Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.

Числовые функции

Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:

• вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$;
• а также комплекснозначные функции комплексного переменного вида $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$,

где $\mathbb {R}$ и $\mathbb {C}$ — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.

Тождественное отображение

Область определения функции $f(x)=x$ совпадает с областью отправления ($\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$).

Гармоническая функция

Область определения функции $f(x)=1/x$ представляет собой комплексную плоскость без нуля:

$\mathrm {dom} \,f=\mathbb {C} \setminus \{0\}$,

поскольку формула не задаёт значение функции в нуле каким-нибудь числом.

Дробно-рациональные функции

Область определения функции вида

$f(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{m}x^{m}}{b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}}}$

представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения

$b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}=0$.

Эти точки называются полюсами функции $f$.

Так, функция $f(x)={\frac {2x}{x^{2}-4}}$ определена во всех точках, где знаменатель не обращается в ноль, то есть, где $x^{2}-4\neq 0$. Таким образом $\mathrm {dom} \,f$ является множеством всех действительных (или комплексных) чисел кроме 2 и −2.

Мера

Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.

Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.

Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.

Функционал

Пусть $\mathbb {F} =\{f\mid f\colon X\to \mathbb {R} \}$ — семейство отображений из множества $X$ в множество $\mathbb {R}$. Тогда можно определить отображение вида $F\colon \mathbb {F} \to \mathbb {R}$. Такое отображение называется функционалом.

Если, например, фиксировать некоторую точку $x_{0}\in ~X$, то можно определить функцию $F(f)=f(x_{0})$, которая принимает в «точке» $f$ то же значение, что и сама функция $f$ в точке $x_{0}$.

См. также

• Область значений функции

Литература

• Функция, математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
• Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
• И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13—21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14—18. — 256 с.
• Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19—27. — 423 с.
• В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23—36. — 544 с.
• Г. Е. Шилов. Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 65—69. — 528 с.
• А. Н. Колмогоров. Что такое функция // «Квант» : науч.-поп. физ.-мат. журн. — М.: «Наука», 1970. — № 1. — С. 27—36. — ISSN 0130-2221.