Область определения функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Область определения функции — множество, на котором задаётся функция. В функции "y = f (x)" Это все значения, которые может принимать x.

Определение[править | править вики-текст]

Если задана функция, которая действует из одного множества в другое, то множество, из которого действует данная функция, называется областью определения.

Более формально, пусть задано отображение ~f, которое отображает множество ~X в ~Y, то есть: f \colon X \to Y; тогда

  • множество ~X называется областью определения функции ~f
  • и обозначается D(f), или \mathrm{dom}\,f (от англ. domain «область»).

Обычно предполагается, что \mathrm{dom}\,f=X, из-за чего понятие области определения выглядит тавтологией: «область определения функции — это область, где определена функция». Для того, чтобы придать чёткий смысл данному понятию, рассматривается некоторое более широкое множество, которое бывает областью отправления, и тогда область определения функции E=\mathrm{dom}\,f — это такое подмножество множества ~X (которое и есть область отправления функции), где для каждого элемента x\in E определено значение функции f(x)\in Y.

Этот факт коротко записывают в виде: f \colon X\supset E \to Y.

Примеры[править | править вики-текст]

Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.

Числовые функции[править | править вики-текст]

Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:

  • вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R};
  • а, также, комплекснозначные функции комплексного переменного это функции вида f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C},

где \mathbb{R} и \mathbb{C} — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.

Тождественное отображение[править | править вики-текст]

Область определения функции f(x)=x совпадает с областью отправления (\mathbb{R} или \mathbb{C}).

Гармоническая функция[править | править вики-текст]

Область определения функции : f(x)=1/x представляет собой комплексную плоскость без нуля

\mathrm{dom}\,f=\mathbb{C}\setminus \{0\}

и не совпадает с областью отправления (вся комплексная плоскость).

Дробно-рациональные функции[править | править вики-текст]

Область определения функции вида

f(x)=\frac{a_0+a_1x+\dots+a_mx^m}{b_0+b_1x+\dots+b_nx^n}

представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения

b_0+b_1x+\dots+b_nx^n=0.

Эти точки называются полюсами функции f.

Мера[править | править вики-текст]

Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.

Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.

Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.

Функционал[править | править вики-текст]

Пусть \mathbb{F}=\{f\mid f\colon X \to \mathbb{R}\} — семейство отображений из множества ~X в множество ~\mathbb{R}. Тогда можно определить отображение вида F\colon \mathbb{F} \to \mathbb{R}. Такое отображение называется функционалом.

Если, например, фиксировать некоторую точку x_0\in~X, то можно определить функцию F(f)=f(x_0), которая принимает в «точке» f то же значение, что и сама функция f в точке x_0.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Функция, математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
  • Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
  • И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13 — 21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
  • А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
  • Дж. Л. Келли Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19 — 27. — 423 с.
  • В. А. Зорич Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Фунция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23 — 36. — 544 с.
  • Г. Е. Шилов Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 65 — 69. — 528 с.
  • А. Н. Колмогоров «Что такое функция» // «Квант». — М.: «Наука», 1970. — В. 1. — С. 27-36. — ISSN 0130-2221.