Область определения функции

Область определения функции — множество, на котором задаётся функция.

Определение

Если задана функция, которая действует из одного множества в другое, то множество, из которого действует данная функция, называется областью определения.

Более формально, пусть задано отображение $~f$, которое отображает множество $~X$ в $~Y$, то есть: $f \colon X \to Y$; тогда

• множество $~X$ называется областью определения функции $~f$
• и обозначается $D(f)$, или $\mathrm{dom}\,f$ (от англ. domain «область»).

Обычно предполагается, что $\mathrm{dom}\,f=X$, из-за чего понятие области определения выглядит тавтологией: «область определения функции — это область, где определена функция». Для того, чтобы придать чёткий смысл данному понятию, рассматривается некоторое более широкое множество, которое называется областью отправления, и тогда область определения функции $E=\mathrm{dom}\,f$ — это такое подмножество множества $~X$ (которое и есть область отправления функции), где для каждого элемента $x\in E$ определено значение функции $f(x)\in Y$.

Этот факт коротко записывают в виде: $f \colon X\supset E \to Y$.

Примеры

Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.

Числовые функции

Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:

• вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$;
• а, также, комплекснозначные функции комплексного переменного это функции вида $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$,

где $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$ — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.

Тождественное отображение

Область определения функции $f(x)=x$ совпадает с областью отправления ($\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$).

Гармоническая функция

Область определения функции : $f(x)=1/x$ представляет собой комплексную плоскость без нуля

$\mathrm{dom}\,f=\mathbb{C}\setminus \{0\}$

и не совпадает с областью отправления (вся комплексная плоскость).

Дробно-рациональные функции

Область определения функции вида

$f(x)=\frac{a_0+a_1x+\dots+a_mx^m}{b_0+b_1x+\dots+b_nx^n}$

представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения

$b_0+b_1x+\dots+b_nx^n=0$.

Эти точки называются полюсами функции $f$.

Мера

Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.

Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.

Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.

Функционал

Пусть $\mathbb{F}=\{f\mid f\colon X \to \mathbb{R}\}$ — семейство отображений из множества $~X$ в множество $~\mathbb{R}$. Тогда можно определить отображение вида $F\colon \mathbb{F} \to \mathbb{R}$. Такое отображение называется функционалом.

Если, например, фиксировать некоторую точку $x_0\in~X$, то можно определить функцию $F(f)=f(x_0)$, которая принимает в «точке» $f$ то же значение, что и сама функция $f$ в точке $x_0$.

См. также

• Область значений функции

Литература

• Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
• Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
• И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13 — 21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X
• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
• Дж. Л. Келли Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19 — 27. — 423 с.
• В. А. Зорич Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Фунция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23 — 36. — 544 с.
• Г. Е. Шилов Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 65 — 69. — 528 с.
• А. Н. Колмогоров «Что такое функция» // «Квант». — М.: «Наука», 1970. — В. 1. — С. 27-36. — ISSN 0130-2221.