Область целостности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) — понятие общей алгебры: коммутативное кольцо без делителей нуля (произведение никакой пары ненулевых элементов не равно 0). Целостные кольца можно изобразить на следующей цепочке включений:

Коммутативные кольцацелостные кольцафакториальные кольцаобласти главных идеаловевклидовы кольцаполя

Эквивалентное определение: область целостности — это коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым. Любая область целостности является подкольцом своего поля частных.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Простейший пример области целостности — кольцо целых чисел \mathbb Z.
  • Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.
  • Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо \mathbb{Z}[x] многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо \mathbb{R}[x,y] многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами. Также является целостным кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами из целостного кольца.
  • Множество действительных чисел вида a+b\sqrt{2} есть подкольцо поля \mathbb{R}, а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида a+bi, где a и b целые (множество гауссовых целых чисел).
  • Пусть U — связное открытое подмножество комплексной плоскости \mathbb{C}. Тогда кольцо H(U) всех голоморфных функций f:U\rightarrow\mathbb{C} будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия.
  • Если K — коммутативное кольцо, а I — идеал в K, то факторкольцо K/I целостное тогда и только тогда, когда I — простой идеал.

Делимость, простые и неприводимые элементы[править | править вики-текст]

Пусть a и b — элементы целостного кольца K. Говорят, что «a делит b» или «a — делитель b» (и пишут a\mid b), если и только если существует элемент x\in K такой, что ax=b.

Делимость транзитивна: если a делит b и b делит c, то a делит c. Если a делит b и c, то a делит также их сумму b+c и разность b-c.

Для кольца K с единицей делители единицы, то есть элементы a\in K, делящие 1, называются также (алгебраическими) единицами. Они и только они в K имеют обратный элемент, так что делители единицы называются также обратимыми элементами. Обратимые элементы делят все остальные элементы кольца.

Элементы a и b называются ассоциированными, если a делит b и b делит a. a и b ассоциированны тогда и только тогда, когда a = be, где e — обратимый элемент.

Ненулевой элемент q, не являющийся единицей называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся единицами.

Ненулевой необратимый элемент p называется простым, если из того, что p\mid ab, следует p\mid a или p\mid b. Это определение обобщает понятие простого числа в кольце \mathbb{Z}, однако учитывает и отрицательные простые числа. Если p — простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал (p) будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
    • Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение даёт конструкция поля частных.
  • Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
  • Тензорное произведение[en] целостных колец тоже будет целостным кольцом.
  • Характеристика области целостности является либо нулём, либо простым числом.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы. Однако неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.