Обобщённая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Обобщённая фу́нкция или распределе́ние — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах.

Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д.

С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в малых окрестностях данной точки. Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Математика начала ХХ века не имела нужных строгих формализмов для оперирования с новым классом зависимостей величин, открытых в физике.

Важный вклад в формирование нового математического подхода к понятию функции в физике принадлежит Η. Μ. Гюнтеру, который предлагал рассматривать вместо точечных характеристик типа плотности соответствующие функции множеств еще в 1916 году[1] и пытался переосмылить на этой основе понятие решения уравнения математической физики. Однако Н.М. Гюнтер не связывал эти идеи с нарождающимся функциональным анализом и квантовой механикой. Фундаментальные новые идеи, основанные на использовании пространств финитных функций и принципиально новом понятии обобщеннной производной принадлежат С. Л. Соболеву[2]. К аналогичным идеям самостоятельно через десять лет пришел выдающийся французский математик Л. Шварц, привлекший уже возникшую к тому времени теорию локально выпуклых пространств и построивший преобразование Фурье обобщенных функций[3]. Соболев и Шварц по праву делят славу создателей теории распределений — обобщенных функций. Обобщённые функции эмпирически использовались Дираком в его исследованиях по квантовой механике [4][5].

В дальнейшем теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений [6].

Определение[править | править вики-текст]

Формально обобщённая функция f определяется как линейный непрерывный функционал \left ( f, \varphi \right ) над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших функций» (так называемых основных функций) f:\varphi\mapsto(f,\;\varphi)[7].

Условие линейности: \left ( f, \alpha_{1} \varphi_{1} + \alpha_{2} \varphi_{2}\right ) =
\alpha_{1} \left ( f, \varphi_{1} \right ) + \alpha_{2} \left ( f, \varphi_{2} \right ).

Условие непрерывности: если \varphi_{\nu} \rightarrow 0, то \left ( f, \varphi_{\nu}  \right ) \rightarrow 0.

Важным примером основного пространства является пространство D(\R^n) — совокупность финитных C^\infty-функций на \R^n, снабжённая естественной для неё топологией: последовательность функций из D(\R^n) сходится, если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они C^\infty-сходятся.

Сопряжённое пространство к D(\R^n) есть пространство обобщённых функций D'(\R^n).

Сходимость последовательности обобщённых функций из D' (\R^n) определяется как слабая сходимость функционалов из D'(\R^n), то есть f_n\to f, в D'(\R^n) означает, что (f_n,\;\varphi)\to(f,\;\varphi), для любой \varphi\in D(\R^n).

Для того, чтобы линейный функционал f на D(\R^n) был обобщённой функцией, то есть f\in D'(\R^n), необходимо и достаточно, чтобы для любого ограниченного открытого множества \Omega существовали числа K и m такие, что

|(f,\;\varphi)|\leqslant K|\varphi|_{C^m}

для всех \varphi с носителем в \Omega.

Если в неравенстве число m можно выбрать не зависящим от \Omega, то обобщённая функция f имеет конечный порядок; наименьшее такое m называется порядком f.

Простейшими примерами обобщённых функций являются функционалы, порождаемые локально суммируемыми функциями

(f,\;\varphi)=\int\limits_{\R^n}f\varphi.

Обобщённые функции, определяемые локально суммируемыми функциями f(x) по этой формуле, называются регулярными; остальные обобщённые функции называются сингулярными.

Обобщённые функции вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно говорить о совпадении обобщённой функции с локально суммируемой функцией на открытом множестве: обобщённая функция f из D'(\R^n) совпадает в \Omega с локально суммируемой в \Omega функцией f_0(x), если

(f,\;\varphi)=(f_0,\;\varphi)

для всех \varphi с носителем в \Omega. В частности, при f_0=0 получается определение того, что обобщённая функция f обращается в нуль внутри \Omega.

Множество точек, ни в какой окрестности которых обобщённая функция не обращается в ноль, называется носителем обобщённой функции f и обозначается \mathrm{supp}\,f. Если \mathrm{supp}\,f компактен, то обобщённая функция f называется финитной.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Любая локально конечная мера \mu определяет обобщённую функцию f_\mu
(f_\mu,\;\varphi)=\int\varphi(x)\,d\mu(x).
В частности,
  • Примером сингулярной обобщённой функции в \R^n служит \delta-функция Дирака
(\delta,\;\varphi)=\varphi(0).
Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точке x=0. \delta-функция имеет порядок 1.
  • Поверхностная \delta-функция. Пусть S — кусочно гладкая поверхность и \lambda — непрерывная функция на S. Обобщённая функция f_{S,\;\lambda} определяется равенством
(f_{S,\;\lambda},\;\varphi)=\int\limits_S\varphi\lambda.
При этом f_{S,\;\lambda} — сингулярная обобщённая функция. Эта обобщённая функция описывает пространственную плотность масс или зарядов, сосредоточенных на поверхности S с поверхностной плотностью \lambda (плотность простого слоя).
  • Обобщённая функция \rho\in D'(\R) определяемая равенством
(\rho,\;\varphi)=vp\int\limits_\R\frac{\varphi(x)}{x}\,dx
(для гладких финитных функций этому интегралу можно придать смысл) функция \rho сингулярна и её порядок равен 2, однако на открытом множестве \R\backslash\{0\} она регулярна и совпадает с \frac{1}{x}.

Операции[править | править вики-текст]

Линейные операции над обобщёнными функциями вводятся как расширение соответствующих операций над основными функциями.

Замена переменных[править | править вики-текст]

Пусть f\in D'(\R^n) и A:\R^n\to\R^n — гладкая замена переменных. Обобщённая функция f\circ A определяется равенством

(f\circ A,\;\varphi)=(f,\;\varphi\circ A^{-1}J(A)),

где J(A) обозначает якобиан A. Эту формулу можно применять в частности к линейному отображению A, она позволяет определить трансляционно инвариантные, сферически симметричные, центрально симметричные, однородные, периодические, лоренц-инвариантные и т. д. обобщённые функции.

Произведение[править | править вики-текст]

Чаще всего определяется произведение обобщённых функций на обычные, а произведение обобщённых функций остается неопределенным.

Пусть f\in D'(\R^n) и a\in C^\infty(\R^n). Произведение af определяется равенством

(af,\;\varphi)=(f,\;a\varphi).

Например a\delta=a(0)\delta, x\rho=1. Для обычных локально суммируемых функций произведение af совпадает с обычным умножением функций f(x) и a(x).

Однако эта операция произведения вообще говоря не допускает распространения на любые обобщённые функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной.

Действительно, в противном случае получилось бы противоречие:

(x\delta)\rho=0\cdot\rho=0,
(x\rho)\delta=1\cdot\delta=\delta.

В частности, Ю. М. Широков построил некоммутативную алгебру обобщённых функций[8][9].

Дифференцирование[править | править вики-текст]

Пусть f\in D'(\R^n). Обобщённая (слабая) производная обобщённой функции \frac{\partial f}{\partial x_i} определяется равенством

\left(\frac{\partial f}{\partial  x_i},\;\varphi\right)=-\left(f,\;\frac{\partial\varphi}{\partial x_i}\right).

Так как операция \varphi\mapsto\frac{\partial\varphi}{\partial x_i} линейна и непрерывна из D(\R^n) в D(\R^n), то функционал, определяемый правой частью равенства, есть обобщённая функция.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Пространство D'(\R^n) — полное: если последовательность обобщённых функций f_i из D'(\R^n) такова, что для любой функции \varphi\in D(\R^n) числовая последовательность (f_i,\;\varphi) сходится, то функционал
(f,\;\varphi)= \lim_{i\to\infty}(f_i,\;\varphi)
принадлежит D'(\R^n).
  • Всякая f из D'(\R^n) есть слабый предел функций из D(\R^n). Это свойство иногда берётся в качестве исходного для определения обобщённой функции, из полноты пространства обобщённых функций это приводит к эквивалентному определению.
  • Любая обобщённая функция из D'(\R^n) бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле).
  • Дифференцирование не увеличивает носителя обобщённой функции.
  • Для обобщённых функций справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения af, где a\in C^\infty(\R^n).
  • Всякая обобщённая функция f из D'(\R^n) есть некоторая частная производная от непрерывной функции в \R^n.
  • Для любой обобщённой функции f порядка N с носителем в точке 0 существует единственное представление (f,\;\varphi) в виде линейной комбинации частных производных \varphi в нуле, с порядком меньшим либо равным N.

Примеры[править | править вики-текст]

Дельта-функция получается при вычислении интеграла Фурье от константы:

\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{ipx}\,dp=2\pi\delta(x).

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Соболев С.Л., Смирнов В.И. Николай Максимович Гюнтер. Библиографический очерк. — М.: ГИТТЛ, 1953. — С. 393-405.
  2. Соболев С.Л. Methode nouvelle a resoundre le probleme de Cauchy pour les equations lineares hyperboliques normales // Математический сборник, № 1 (43)б 1936б 39-72
  3. Schwartz L. Theorie des distributions // I, II, Paris, 1950-1951
  4. Lutzen J. The Prehistory of the Theory of Distribution. — New York etc: Springer Verlag, 1982. — 232 с.
  5. Дирак, П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — С. 480.
  6. И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов Обобщенные функции и действия над ними.
  7. Шилов, Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. — М.: Наука, 1965. — С. 16.
  8. Ю. М. Широков, Алгебра одномерных обобщенных функций. — Теоретическая и математическая физика. — 1979. — том 39. — № 3. — стр. 291—301.
  9. Г. К. Толоконников, Ю. М. Широков, Ассоциативная алгебра обобщенных функций, замкнутая относительно дифференцирования и взятия первообразной. - Теоретическая и математическая физика. — 1981. — том 46. — № 3. — стр. 305—309., Г. К. Толоконников. Об Алгебрах Ю. М. Широкова.I — Теоретическая и математическая физика. — 1982. — том 51. — № 3. — стр. 366-375.

См. также[править | править вики-текст]