Обозначения Конвея

Обозначе́ния Ко́нвея со стре́лками — метод обозначения очень больших целых чисел, предложенный Джоном Конвеем.

По Конвею, большие целые числа представляются последовательностями из $n$ натуральных чисел, соединёнными горизонтальными стрелками (например, 2→3→4→5→6) — цепочками Конвея.

Определение

Цепочка Конвея определяется следующим образом:

• Любое натуральное число представляет собой цепочку единичной длины.
• Цепочка длины $n$, за которой следует стрелка «→» и натуральное число, вместе составляют цепочку длины $n+1$.

Любая цепочка Конвея представляет некоторое целое число. Две цепочки называются равными, если они представляют равные числа.

Общая схема вычисления

Расчёт значения цепочки производится согласно следующим правилам:

1. $p=p$ (цепочка $p$ представляет число $p$);
2. $p \to q=p^q$ (цепочка $p \to q$ представляет возведение в степень);
3. $X \to p \to 1 = X \to p$;
4. $X \to 1 \to q = X$;
5. $X \to (p + 1) \to (q + 1) = X \to (X \to p \to (q+1)) \to q$.

Здесь:

• $p,q$ — некоторые натуральные числа;
• $X$ — в общем случае, некоторая другая цепочка Конвея (подцепочка).

Следует отметить, что цепочки в скобках не входят в общую цепочку и вычисляются отдельно. То есть, в общем случае:

$a \to b \to c \neq (a \to b) \to c \neq a \to (b \to c)$

Частные случаи

Обозначения Конвея связаны с обозначениями Кнута следующим образом:

$a \to b \to k = a\uparrow^k b.$

Возведение в степень в обозначениях Конвея:

$\begin{matrix} a\to b= a\to b\to 1= a^b = & \underbrace{a\times a\times\dots\times a}\\ & b\,\mbox{ PA3 } \end{matrix}$

Тетрация в обозначениях Конвея:

$\begin{matrix} a\to b\to 2= {\ ^{b}a} = & \underbrace{a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^a}}}}}}\\ & b\,\mbox{ PA3 } \end{matrix}$

Пентация в обозначениях Конвея:

$\begin{matrix} a\to b\to 3 = & \underbrace{{}^{^{^{^{^a}}}}{}^{^{^{^{^.}}}}{}^{^{^{^.}}}{}^{^{^.}}{}^{a}a}\\ & b\,\mbox{ PA3 } \end{matrix}$

См. также

• Обозначения Кнута
• Обозначения Штейнгауза — Мозера
• Гипероператор