Образ меры под действием отображения

Образ меры — конструкция дающая меру на области значений отображения по мере на области определения.

Образ меры $\mu$ отображения $f$ обычно обозначается $f_{*}\mu$, но ингда использется обозначение $f_{\#}\mu$.

Определение

Пусть задано измеримое отображение $f:(X,\Sigma_1)\to (Y,\Sigma_2)$ измеримых пространств и мера $\mu$ на $(X,\Sigma_1)$, её образом под действием $f$ называется мера $f_*\mu$ на $(Y,\Sigma_2)$, определённая как

$(f_* \mu)(A)= \mu(f^{-1}(A)) \quad \forall A\subset Y, \, A\in \Sigma_2.$

Это определение вполне естественно: если представлять себе меру $\mu$ как распределение массы, а отображение $f$ переносящим точки $X$ в $Y$, то «масса» множества $A$ после такого переноса это суммарная масса попадающих в него точек — то есть мера $\mu$ его полного прообраза: $\mu(f^{-1}(A))$.

Свойства

Для метрических пространств, снабжённых борелевскими $\sigma$-алгебрами, когда мера рассматривается как функционал на непрерывных ограниченных функциях, это определение может быть переписано как

$\int_Y \varphi \, d(f_* \mu) = \int_X \varphi\circ f \, d\mu \quad \forall \varphi\in C_b(Y).$

См. также

• Инвариантная мера