Образ меры под действием отображения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Образ меры — конструкция дающая меру на области значений отображения по мере на области определения.

Образ меры \mu отображения f обычно обозначается f_{*}\mu, но ингда использется обозначение f_{\#}\mu.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть задано измеримое отображение f:(X,\Sigma_1)\to (Y,\Sigma_2) измеримых пространств и мера \mu на (X,\Sigma_1), её образом под действием f называется мера f_*\mu на (Y,\Sigma_2), определённая как


(f_* \mu)(A)= \mu(f^{-1}(A)) \quad \forall A\subset Y, \, A\in \Sigma_2.

Это определение вполне естественно: если представлять себе меру \mu как распределение массы, а отображение f переносящим точки X в Y, то «масса» множества A после такого переноса это суммарная масса попадающих в него точек — то есть мера \mu его полного прообраза: \mu(f^{-1}(A)).

Свойства[править | править вики-текст]

Для метрических пространств, снабжённых борелевскими \sigma-алгебрами, когда мера рассматривается как функционал на непрерывных ограниченных функциях, это определение может быть переписано как


\int_Y \varphi \, d(f_* \mu) = \int_X \varphi\circ f \, d\mu \quad \forall \varphi\in C_b(Y).

См. также[править | править вики-текст]