Обратимый элемент

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Обратимым элементом, а также единицей кольца или делителем единицы, называется всякий элемент \mathbf a кольца, для которого существует обратный элемент относительно умножения, то есть такой элемент b, что {\mathbf a}b=b{\mathbf a}=e, где e — единичный элемент кольца. Далее под словом «кольцо» подразумевается «кольцо с единичным элементом».

Множество всех обратимых элементов кольца образует мультипликативную группу, называемую группой единиц или группой обратимых элементов.

Если \mathbf a — делитель единицы, то элементы, представимые в виде {\mathbf a}x или x{\mathbf a} называются ассоциированными с x.

Обычно понятия делителя единицы и ассоциированного элемента употребляются для областей целостности.

Группа единиц[править | править исходный текст]

Обратимые элементы кольца R образуют группу U(R) по умножению, группу единиц кольца R. Другие общепринятые обозначение — R×, R* и E(R) (от немецкого Einheit).

В коммутативном кольце R группа единиц U(R) действует на R посредством умножения. Орбиты этих действий называются множествами ассоциированных элементов; другими словами, имеется отношение эквивалентности ~ на R, называемое ассоциированностью, где

r ~ s

означает, что существует единица u, такая, что r = us.

Можно показать, что U — это функтор из категории колец в категорию групп: каждый гомоморфизм колец f : RS порождает гомоморфизм групп U(f) : U(R) → U(S), поскольку f отображает единицы в единицы.

Кольцо R является телом тогда и только тогда, когда U(R) = R \ {0}.

Примеры[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1.
  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.