Обратимый элемент

Не следует путать с единичным элементом.

Обратимым элементом, а также единицей кольца или делителем единицы, называется всякий элемент $\mathbf a$ кольца, для которого существует обратный элемент относительно умножения, то есть такой элемент $b$, что ${\mathbf a}b=b{\mathbf a}=e$, где e — единичный элемент кольца.

Множество всех обратимых элементов кольца образует мультипликативную группу, называемую группой единиц или группой обратимых элементов.

Если $\mathbf a$ — делитель единицы, то элементы ${\mathbf a}x$ и $x{\mathbf a}$ называются ассоциированными с $x$.

Обычно понятия делителя единицы и ассоциированного элемента употребляются для областей целостности.

Группа единиц

Единицы кольца R образуют группу U(R) по умножению, группу единиц кольца R. Другие общепринятые обозначение -  R^×, и E(R)  (от немецкого Einheit).

В коммутативном кольце с единицей R группа единиц U(R) действует на R посредством умножения. Орбиты этих действий называются множеством ассоциаций; другими словами, имеется отношение эквивалентности ~ на R, называемое ассоциативностью, где

r ~ s

означает, что существует единица u, такая, что r = us.

Можно показать, что U – это функтор из категории колец в категорию групп: каждый гомоморфизм кольца f : R → S порождает гомоморфизм группы U(f) : U(R) → U(S), поскольку f отображает единицы в единицы.

Кольцо R является кольцом с делением тогда и только тогда, когда U(R) = R \ {0}.

Примеры

• В кольце целых чисел два делителя единицы: +1 и -1.
• В кольце вычетов по модулю m, обратимыми элементами являются вычеты, взаимно простые с модулем m. Они образуют мультипликативную группу кольца вычетов.
• В кольце гауссовых целых чисел четыре делителя единицы: $+1,\ -1,\ i,\ -i$.
• В кольце многочленов над полем любой ненулевой элемент поля коэффициентов (как многочлен нулевой степени) является делителем единицы.

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.:, Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, т.1 — М.:, ИЛ, 1963.
• Ленг С. Алгебра — М.:, Мир, 1967.