Обратимый элемент
Обратимым элементом, а также единицей кольца или делителем единицы, называется всякий элемент
кольца, для которого существует обратный элемент относительно умножения, то есть такой элемент
, что
, где e — единичный элемент кольца.
Множество всех обратимых элементов кольца образует мультипликативную группу, называемую группой единиц или группой обратимых элементов.
Если
— делитель единицы, то элементы
и
называются ассоциированными с
.
Обычно понятия делителя единицы и ассоциированного элемента употребляются для областей целостности.
Группа единиц [править]
Единицы кольца R образуют группу U(R) по умножению, группу единиц кольца R. Другие общепринятые обозначение - R×, и E(R) (от немецкого Einheit).
В коммутативном кольце с единицей R группа единиц U(R) действует на R посредством умножения. Орбиты этих действий называются множеством ассоциаций; другими словами, имеется отношение эквивалентности ~ на R, называемое ассоциативностью, где
- r ~ s
означает, что существует единица u, такая, что r = us.
Можно показать, что U – это функтор из категории колец в категорию групп: каждый гомоморфизм кольца f : R → S порождает гомоморфизм группы U(f) : U(R) → U(S), поскольку f отображает единицы в единицы.
Кольцо R является кольцом с делением тогда и только тогда, когда U(R) = R \ {0}.
Примеры [править]
- В кольце целых чисел два делителя единицы: +1 и -1.
- В кольце вычетов по модулю m, обратимыми элементами являются вычеты, взаимно простые с модулем m. Они образуют мультипликативную группу кольца вычетов.
- В кольце гауссовых целых чисел четыре делителя единицы:
. - В кольце многочленов над полем любой ненулевой элемент поля коэффициентов (как многочлен нулевой степени) является делителем единицы.
Литература [править]
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.:, Наука, 1975.
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, т.1 — М.:, ИЛ, 1963.
- Ленг С. Алгебра — М.:, Мир, 1967.
| Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |


.