Обратная задача

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Обратная задача — тип задач, часто возникающий во многих разделах науки, когда значения параметров модели должны быть получены из наблюдаемых данных.

Примеры обратных задач можно найти в следующих областях: геофизика, астрономия, медицинская визуализация, компьютерная томография, дистанционное зондирование Земли, спектральный анализ и задачи по неразрушающему контролю.

Обратные задачи являются некорректно поставленными задачами. Из трёх условий корректно поставленной задачи (существование решения, единственность решения и его устойчивость) в обратных задачах наиболее часто нарушается последнее. В функциональном анализе обратная задача представляется в виде отображения между метрическими пространствами. Обратные задачи обычно формулируются в бесконечномерных пространствах, но ограничение на конечность измерений и целесообразность вычисления конечного числа неизвестных параметров приводят к изменению задачи в дискретной форме. В этом случае используют метод регуляризации для того, чтобы избежать переобучения.

Линейная обратная задача[править | править вики-текст]

Линейная обратная задача может быть описана в следующем виде:

\ d = G(m),

где G — линейный оператор, описывающий явные отношения между данными и параметрами модели, и представляющий собой физическую систему. В случае дискретной линейной обратной задачи, описывающей линейную систему, d и m являются векторами, что позволяет использовать следующее представление задачи:

\ d = Gm,

где G является матрицей.

Примеры[править | править вики-текст]

Примером линейной обратной задачи служит интегральное уравнение Фредгольма первого порядка.

 d(x) = \int\limits_a^b g(x,y)\,m(y)\,dy

Для существенно гладкого g определённый выше оператор является компактным на таких банаховых пространствах, как Пространства L^p. Даже если отображение является взаимно однозначным, обратная функция не будет непрерывной. Таким образом, даже маленькие ошибки в данных d будут сильно увеличены в решении m. В этом отношении обратная задача по определению m из измеренных данных d будет являться некорректной.

Для получения численного решения необходимо аппроксимировать интеграл с помощью численного интегрирования и дискретных данных. Результирующая система линейных уравнений будет некорректно поставленной задачей.

Преобразование Радона также является примером линейной обратной задачи.

Нелинейная обратная задача[править | править вики-текст]

В нелинейных обратных задачах ставятся более сложные отношения между данными и моделью, которые описываются уравнением:

\ d = G(m).

Здесь G представляет собой нелинейный оператор, который не может быть приведён к виду линейного отображения, переводящего m в данные. Линейные обратные задачи были полностью решены с теоретической точки зрения в конце XIX века, из нелинейных до 1970 года был решён только один класс задач — задача обратного рассеяния. Существенный вклад внесла российская математическая школа (Крейн, Гельфанд, Левитан).

Ссылки[править | править вики-текст]

Международные научные журналы[править | править вики-текст]