Обратная решётка

Обратная решётка — точечная трёхмерная решётка в абстрактном обратном пространстве, где расстояния имеют размерность обратной длины. Понятие обратной решётки удобно для описания дифракции рентгеновских лучей, нейтронов и электронов на кристалле. Обратная решётка (обратное пространство, импульсное пространство) является Фурье-образом прямой кристаллической решётки (прямого пространства).

Определение

Каждой кристаллической структуре соответствуют две решётки: кристаллическая решётка и обратная решётка. Можно определить векторы прямой $\mathbf{a_{1}}, \mathbf{a_{2}}, \mathbf{a_{3}}$ и обратной $\mathbf{b_{1}}, \mathbf{b_{2}}, \mathbf{b_{3}}$ решёток. Дифракционная картина представляет собой карту обратной решётки кристалла, так же как микроскопическое изображение представляет собой карту реальной структуры кристалла. Векторы кристаллической решётки имеют размерность длины, а размерность векторов обратной решётки [длина]^—1. Кристаллическая решётка — это решётка в обычном, реальном пространстве; обратная решётка — решётка в пространстве Фурье.

В кристаллографии обратная решётка состоит из множества векторов K, таких, что

$e^{i\mathbf{K}\cdot\mathbf{R}}=1$

для всех векторов R, указывающих на положение узлов кристаллический решётки.

Для бесконечной трёхмерной решётки, характеризующейся базисными векторами $(\mathbf{a_{1}}, \mathbf{a_{2}}, \mathbf{a_{3}})$, её обратная решётка задаётся тройкой базисных векторов обратной решётки $(\mathbf{b_{1}}, \mathbf{b_{2}}, \mathbf{b_{3}})$, связанных с базисными векторами прямой решетки соотношением $\mathbf{a_{j}} \cdot \mathbf{b_{k}}=\mathbf{b_{k}} \cdot \mathbf{a_{j}}=2 \pi \delta_{jk}=\left\{\begin{matrix} 2 \pi, & j=k \\ 0, & j \ne k \end{matrix}\right.$ и вычисленных по формулам

$\mathbf{b_{1}}=2 \pi \frac{\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}}}{\mathbf{a_{1}} \cdot (\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}})}$

$\mathbf{b_{2}}=2 \pi \frac{\mathbf{a_{3}} \times \mathbf{a_{1}}}{\mathbf{a_{2}} \cdot (\mathbf{a_{3}} \times \mathbf{a_{1}})}$

$\mathbf{b_{3}}=2 \pi \frac{\mathbf{a_{1}} \times \mathbf{a_{2}}}{\mathbf{a_{3}} \cdot (\mathbf{a_{1}} \times \mathbf{a_{2}})}$

Вышеупомянутое определение называют физическим определением, так как множитель 2π возникает естественно из исследования периодических структур. Эквивалентное кристаллографическое определение возникает, если вектора обратной решётки подчиняются следующему соотношению $e^{2 \pi i\mathbf{K}\cdot\mathbf{R}}=1$, которое изменяет формулы для нахождения векторов обратной решётки:

$\mathbf{b_{1}}=\frac{\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}}}{\mathbf{a_{1}} \cdot (\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}})}$

и аналогично для других векторов. Кристаллографическое определение выгодно тем, что определяет $\mathbf{b_{1}}$ как обратную величину $\mathbf{a_{1}}$ в направлении $\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}}$, без множителя 2π. Это может упростить определенные математические манипуляции и выражает взаимные измерения решетки в единицах пространственной частоты. Это вопрос удобства, какое определение векторов обратной решётки используется, конечно не смешивая их.

Кристаллографическое определение базиса в векторной алгебре называется взаимным базисом и используется для доказательства некоторых утверждений, связанных с углами между векторами и смешанным произведением^:212-214.

Обратная решётка используется для определения индексов плоскости. Любой кристаллографической плоскости отвечает набор векторов обратной решетки, при этом коэффициенты разложения кратчайшего вектора по единичным векторам обратной решетки являются индексами плоскости.

Источники

• Сиротин Ю. И., Шаскольская М. П. Основы кристаллофизики. — М.: Наука, 1979. — 640 с.