Обратная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Функция f и обратная ей функция f^{-1}. Если f(a)=3, то f^{-1}(3)=a

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции f обычно обозначается f^{-1}, иногда также используется обозначение f^{\mathrm{inv}}.

Определение[править | править вики-текст]

Функция g:Y\to X является обратной к функции f:X\to Y, если выполнены следующие тождества:

  • f(g(y))=y для всех y\in Y;
  • g(f(x))=x для всех x\in X.

Существование[править | править вики-текст]

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение y = f(x) относительно x. Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к f не существует. Таким образом, функция f(x) обратима на интервале (a;b) тогда и только тогда, когда на этом интервале она инъективна.

Для непрерывной функции F(y) выразить y из уравнения x - F(y) = 0 возможно в том и только том случае, когда функция F(y) монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её монотонности. Например, \sqrt{x} является обратной функцией к x^2 на [0, +\infty), хотя на промежутке (-\infty, 0] обратная функция другая: -\sqrt{x}.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Если F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+,\; F(x) = a^x, где a>0, то F^{-1}(x) = \log_a x.
  • Если F(x) = ax+b, \; x\in \mathbb{R}, где a,b\in \mathbb{R} фиксированные постоянные и a \neq 0, то F^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}.
  • Если F(x)=x^n,x \ge 0, n\in \mathbb Z, то F^{-1}(x)=\sqrt [n] {x}.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Областью определения F^{-1} является множество Y, а областью значений множество X.
  • По построению имеем:
y = F(x) \Leftrightarrow x = F^{-1}(y)

или

F\left(F^{-1}(y)\right) = y,\; \forall y \in Y,
F^{-1}(F(x)) = x,\; \forall x \in X,

или короче

 F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y,
 F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X,

где \circ означает композицию функций, а \mathrm{id}_X, \mathrm{id}_Y — тождественные отображения на X и Y соответственно.

  • Функция F является обратной к F^{-1}:
\left(F^{-1}\right)^{-1} = F.
  • Пусть F:X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R} — биекция. Пусть F^{-1}:Y \to X её обратная функция. Тогда графики функций y = F(x) и y = F^{-1}(x) симметричны относительно прямой y = x.

Разложение в степенной ряд[править | править вики-текст]

Обратная функция аналитической функции может быть представлена в виде степенного ряда:


F^{-1}(y) = \sum_{k=0}^\infty A_k(x_0) \frac{(y-f(x_0))^k}{k!},

где коэффициенты A_k задаются рекурсивной формулой:


A_k(x)=\begin{cases} A_0(x)=x \\ A_{n+1}(x)=\frac{A_n'(x)}{F'(x)}\end{cases}

См. также[править | править вики-текст]