Обратная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Содержание

1 Определение
2 Условие существования обратной функции (обратимости)
3 Существование
4 Свойства
5 Разложение в степенной ряд
6 Примеры
7 См. также

[править] Определение

Функция $g:Y\to X$ является обратной к функции $f:X\to Y$ если для них выполнены следующие два тождества:

f (g (y)) = y

для всякого $y\in Y$

g (f (x)) = x

для всякого $x\in X$

[править] Условие существования обратной функции (обратимости)

Функция $f (x)$ обратима на интервале $[a; b]$ тогда и только тогда, когда на этом интервале она биективна.

[править] Существование

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение $x = F (y)$ относительно $y$ . Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к $F$ не существует.

Согласно теореме о неявной функции выразить $y$ из уравнения $x - F (y) = 0$ возможно в том и только том случае, когда функция $F (y)$ монотонна. Но даже в противном случае возможно обратить функцию на любом из промежутков её монотонности. Так, можно говорить, что $\sqrt{x}$ является обратной функцией к $x 2$ на $[0, +\infty)$ . На другом промежутке, точнее $(-\infty, 0]$ , обратная функция другая: $-\sqrt{x}$ .

[править] Свойства

Областью определения $F - 1$ является множество $Y$ , а областью значений множество $X$ .
По построению имеем:

$y = F(x) \Leftrightarrow x = F^{-1}(y)$

или

$F\left(F^{-1}(y)\right) = y,\; \forall y \in Y$ ,

$F^{-1}(F(x)) = x,\; \forall x \in X$ ,

или короче

$F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y$ ,

$F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X$ ,

где $\circ$ означает композицию функций, а $id X,id Y$ — тождественные отображения на $X$ и $Y$ соответственно.

Функция $F$ является обратной к $F - 1$ :

$\left(F^{-1}\right)^{-1} = F$ .

Пусть $F:X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R}$ — биекция. Пусть $F^{-1}:Y \to X$ её обратная функция. Тогда графики функций $y = F (x)$ и $y = F - 1 (x)$ симметричны относительно прямой $y = x$ .

[править] Разложение в степенной ряд

Обратная функция аналитической функции может быть представлена в виде степенного ряда:

$F^{-1}(y) = \sum_{k=0}^\infty A_k(x_0) \frac{(y-f(x_0))^k}{k!},$

где коэффициенты $A k$ задаются рекурсивной формулой:

$A_k(x)=\begin{cases} A_0(x)=x \\ A_{n+1}(x)=\frac{A_n'(x)}{F'(x)}\end{cases}$

[править] Примеры

Если $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+,\; F(x) = a^x$ , где $a > 0,$ то $F - 1 (x) = log a x .$
Если $F(x) = ax+b, \; x\in \mathbb{R}$ , где $a,b\in \mathbb{R}$ фиксированные постоянные, то $F^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}.$
Если $F(x)=x^n,x \ge 0, n\in \mathbb Z$ , то $F^{-1}(x)=\sqrt [n] {x}.$