Обратная функция
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.
Содержание |
[править] Определение
Функция
является обратной к функции
если для них выполнены следующие два тождества:
- f(g(y)) = y для всякого

- g(f(x)) = x для всякого

[править] Условие существования обратной функции (обратимости)
- Функция f(x) обратима на интервале [a;b] тогда и только тогда, когда на этом интервале она биективна.
[править] Существование
Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение x = F(y) относительно y. Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к F не существует.
Согласно теореме о неявной функции выразить y из уравнения x − F(y) = 0 возможно в том и только том случае, когда функция F(y) монотонна. Но даже в противном случае возможно обратить функцию на любом из промежутков её монотонности. Так, можно говорить, что
является обратной функцией к x2 на
. На другом промежутке, точнее
, обратная функция другая:
.
[править] Свойства
- Областью определения F − 1 является множество Y, а областью значений множество X.
- По построению имеем:
или
,
,
или короче
,
,
где
означает композицию функций, а idX,idY — тождественные отображения на X и Y соответственно.
- Функция F является обратной к F − 1:
.
- Пусть
— биекция. Пусть
её обратная функция. Тогда графики функций y = F(x) и y = F − 1(x) симметричны относительно прямой y = x.
[править] Разложение в степенной ряд
Обратная функция аналитической функции может быть представлена в виде степенного ряда:
где коэффициенты Ak задаются рекурсивной формулой:
[править] Примеры
- Если
, где a > 0, то F − 1(x) = logax. - Если
, где
фиксированные постоянные, то 
- Если
, то ![F^{-1}(x)=\sqrt [n] {x}.](http://upload.wikimedia.org/math/0/e/8/0e8903e5e9bce2c5a76be6d025e20b9e.png)




