Обратные гиперболические функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Обратные гиперболические функции — определяются как обратные функции к гиперболическим функциям. Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы x2y2 = 1 аналогично тому, как обратные тригонометрические функции определяют длину дуги единичной окружности x2 + y2 = 1. Для этих функций часто используются обозначения arcsinh, arcsh, arccosh, arcch и т. д., хотя такое обозначение является в общем случае ошибочным, так как arc является сокращением от arcus — дуга, тогда как префикс ar обозначает area — площадь. Более правильными являются обозначения arsinh, arsh и т. д. и названия гиперболический ареасинус, гиперболический ареакосинус и т. д.

В русской литературе обозначения большинства прямых и обратных гиперболических функций (так же как и части тригонометрических) отличаются от английских обозначений.

Название функции Обозначение в русской литературе Обозначение в английской литературе
ареасинус arsh arsinh, sinh−1
ареакосинус arch arcosh, cosh−1
ареатангенс arth artanh, tanh−1
ареакотангенс arcth arcotanh, cotanh−1
ареасеканс arsech arsech, sech−1
ареакосеканс arcsch arcsch, csch−1

Определения функций[править | править вики-текст]

Гиперболический ареасинус для действительного аргумента
Гиперболический ареакосинус для действительного аргумента
Гиперболический ареатангенс для действительного аргумента
Гиперболический ареакотангенс для действительного аргумента
Гиперболический ареасеканс для действительного аргумента
Гиперболический ареакосеканс для действительного аргумента

В комплексной плоскости функции можно определить формулами:

  • Гиперболический ареасинус

 \operatorname{arsh}\, z = \ln(z + \sqrt{z^2 + 1} \,);
  • Гиперболический ареакосинус
\operatorname{arch}\, z = \ln(z + \sqrt{z+1} \sqrt{z-1} \,);
  • Гиперболический ареатангенс
\operatorname{arth}\, z = \tfrac12\ln\left(\frac{1+z}{1-z}\right);
  • Гиперболический ареакотангенс
\operatorname{arcth}\, z = \tfrac12\ln\left(\frac{z+1}{z-1}\right);
  • Гиперболический ареасеканс
\operatorname{arsech}\, z = \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z} + 1 } \, \sqrt{ \frac{1}{z} -1 } \,\right);
  • Гиперболический ареакосеканс
\operatorname{arcsch}\, z = \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z^2} +1 } \,\right).

Квадратными корнями в этих формулах являются главные значения квадратного корня и логарифмические функции являются функциями комплексной переменной. Для действительных аргументов можно осуществить некоторые упрощения, например \sqrt{x+1}\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2-1}, которые не всегда верно для главных значений квадратных корней.

Разложение в ряд[править | править вики-текст]

Обратные гиперболические функции можно разложить в ряды:

\begin{align}\operatorname{arsh}\, x & = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots \\
                       & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1  \end{align}
\begin{align}\operatorname{arch}\, x & = \ln 2x - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right) \\
                      & = \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , \qquad x > 1 \end{align}
\begin{align}\operatorname{arth}\, x & = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots \\
                      & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1 \end{align}
\begin{align}\operatorname{arcsch}\, x = \operatorname{arsh} \frac1x & = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\
                      & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align}
\begin{align}\operatorname{arsech}\, x = \operatorname{arch} \frac1x & = \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right) \\
                      & = \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n} , \qquad 0 < x \le 1 \end{align}
\begin{align}\operatorname{arcth}\, x = \operatorname{arth} \frac1x & = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\
                      & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align}

Асимптотическое разложение arsh x даётся формулой

\operatorname{arsh}\, x = \ln 2x + \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{2n\left( {2n} \right)!!}}} \frac{1}{{x^{2n} }}.

Производные[править | править вики-текст]


\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arch}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arth}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcth}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{-1}{x(x+1)\,\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{-1}{x^2\,\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\\
\end{align}

Для действительных x:


\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1-x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1+x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0
\end{align}

Пример дифференцирования: если θ = arsh x, то:

\frac{d\,\operatorname{arsh}\, x}{dx} = \frac{d \theta}{d \operatorname{sh} \theta} = \frac{1} {\operatorname{ch} \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\operatorname{sh}^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.

Комбинация гиперболических и обратных гиперболических функций[править | править вики-текст]

\begin{align}
 &\operatorname{sh}(\operatorname{arch}\,x) = \sqrt{x^{2} - 1},  \quad \quad |x| > 1; \\
 &\operatorname{sh}(\operatorname{arth}\,x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}, \quad \quad -1 < x < 1; \\
 &\operatorname{ch}(\operatorname{arsh}\,x) = \sqrt{1+x^{2}}; \\
 &\operatorname{ch}(\operatorname{arth}\,x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, \quad \quad -1 < x < 1; \\
 &\operatorname{th}(\operatorname{arsh}\,x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}; \\
 &\operatorname{th}(\operatorname{arch}\,x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}, \quad \quad |x| > 1.
\end{align}

Дополнительные формулы[править | править вики-текст]

\operatorname{arsh} \;u \pm \operatorname{arsh} \;v = \operatorname{arsh} \left(u \sqrt{1 + v^2} \pm v \sqrt{1 + u^2}\right).
\operatorname{arch} \;u \pm \operatorname{arch} \;v = \operatorname{arch} \left(u v \pm \sqrt{(u^2 - 1) (v^2 - 1)}\right).
\operatorname{arth} \;u \pm \operatorname{arth} \;v = \operatorname{arth} \left( \frac{u \pm v}{1 \pm uv} \right).
\begin{align}\operatorname{arsh} \;u + \operatorname{arch} \;v & = \operatorname{arsh} \left(u v + \sqrt{(1 + u^2) (v^2 - 1)}\right) \\
                                                                          & = \operatorname{arch} \left(v \sqrt{1 + u^2} + u \sqrt{v^2 - 1}\right) \end{align}.
\begin{align}
\operatorname{arch}(2x^2-1) &= 2\operatorname{arch} x, \\
\operatorname{arch}(2x^2+1) &= 2\operatorname{arsh} x.
\end{align}

См. также[править | править вики-текст]

Источники[править | править вики-текст]

  • Herbert Busemann, Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics, с. 207, Academic Press.

Ссылки[править | править вики-текст]