Обратные тригонометрические функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arc — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Изредка в иностранной литературе пользуются обозначениями типа sin−1 для арксинуса и т. п.; это считается не совсем корректным, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.


Основное соотношение[править | править вики-текст]

\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}
\operatorname {arctg}\, x + \operatorname {arcctg}\, x = \frac{\pi}{2}

Функция arcsin[править | править вики-текст]

График функции y = \arcsin x.

Арксинусом числа m называется такое значение угла x, для которого \sin x = m,\, -\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2},\, |m|\leqslant 1.

Функция y=\sin x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y=\arcsin x является строго возрастающей.

  • \sin (\arcsin x) = x\qquad при -1 \leqslant x \leqslant 1,
  • \arcsin(\sin y) = y\qquad при -\frac{\pi}{2} \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2},
  • D(\arcsin x)=[-1; 1]\qquad (область определения),
  • E(\arcsin x) = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\qquad (область значений).

Свойства функции arcsin[править | править вики-текст]

Получение функции arcsin[править | править вики-текст]

Дана функция y=\sin x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y= \arcsin x функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений — \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]. Так как для функции y=\sin x на интервале \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ] каждое значение функции достигается при единственном значении аргумента, то на этом отрезке существует обратная функция y=\arcsin x, график которой симметричен графику функции y=\sin x на отрезке \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ] относительно прямой y=x.

Функция arccos[править | править вики-текст]

График функции y=\arccos x.

Арккосинусом числа m называется такое значение угла x, для которого \cos x = m,\qquad 0 \leqslant x \leqslant \pi, |m|\leqslant 1.

Функция y=\cos x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y=\arccos x является строго убывающей.

  • \cos (\arccos x)=x при -1 \leqslant x \leqslant 1,
  • \arccos (\cos y) = y при 0 \leqslant y \leqslant \pi.
  • D(\arccos x)=[-1; 1], (область определения),
  • E(\arccos x)=[0; \pi]. (область значений).

Свойства функции arccos[править | править вики-текст]

  • \arccos(-x) = \pi - \arccos x\, (функция центрально-симметрична относительно точки \left (0; \frac{\pi}{2}\right)), является индифферентной.
  • \arccos x > 0\, при -1 \leqslant x < 1.
  • \arccos x = 0\, при x=1.\,
  • \arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x.
  • \arccos x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\\pi-\arcsin \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x < 0 
\end{matrix}\right.
  • \arccos x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 < x \leqslant 1 
\\\pi+\operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix}
\right.
  • \arccos x = 2 \arcsin \sqrt \frac{1-x}{2}
  • \arccos x = 2 \arccos \sqrt \frac{1+x}{2}
  • \arccos x = 2 \operatorname{arctg} \sqrt \frac{1-x}{1+x}

Получение функции arccos[править | править вики-текст]

Дана функция y=\cos x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=\arccos x функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго убывает и принимает все свои значения — [0; \pi]. На этом отрезке y=\cos x строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке [0; \pi] существует обратная функция y = \arccos x, график которой симметричен графику y=\cos x на отрезке [0; \pi] относительно прямой y=x.

Функция arctg[править | править вики-текст]

График функции y=\operatorname{arctg}\, x.

Арктангенсом числа m называется такое значение угла \alpha, для которого \operatorname{tg}\, \alpha = m , \qquad -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}.

Функция y=\operatorname{arctg} x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y=\operatorname{arctg} x является строго возрастающей.

  • \operatorname{tg}\,(\operatorname{arctg}\, x)=x при x \in \mathbb R,
  • \operatorname{arctg}\,(\operatorname{tg}\, y)=y при -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2},
  • D(\operatorname{arctg}\,x) = (-\infty; \infty),
  • E(\operatorname{arctg}\,x) = \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)

Свойства функции arctg[править | править вики-текст]

  • \operatorname{arctg} (- x) = -\operatorname{arctg} x \qquad
  •  \operatorname{arctg} x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
  •  \operatorname{arctg} x = \arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} , при x > 0.
  •  \operatorname{arctg} x = \operatorname{arcctg} \frac{1}{x}

Получение функции arctg[править | править вики-текст]

Дана функция y=\operatorname{tg}\, x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=\operatorname{arctg}\, x функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right). На этом отрезке y=\operatorname{tg}\, x строго монотонно возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) существует обратная y=\operatorname{arctg}\, x, график которой симметричен графику y=\operatorname{tg}\,x на отрезке \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) относительно прямой y=x.

Функция arcctg[править | править вики-текст]

График функции y = \operatorname{arcctg} x.

Арккотангенсом числа m называется такое значение угла x, для которого \operatorname{ctg}\,x = m,\qquad 0 < x < \pi.

Функция y=\operatorname{arcctg}\, x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y=\operatorname{arcctg}\, x является строго убывающей.

  • \operatorname{ctg}\,(\operatorname{arcctg}\, x) = x при x \in \mathbb R,
  • \operatorname{arcctg}\,(\operatorname{ctg}\, y) = y при 0<y<\pi,
  • D(\operatorname{arcctg}\, x) = (-\infty; \infty),
  • E(\operatorname{arcctg}\, x) = (0; \pi).

Свойства функции arcctg[править | править вики-текст]

  • \operatorname{arcctg}\, (-x) = \pi - \operatorname{arcctg}\, x (график функции центрально-симметричен относительно точки \left(0; \frac{\pi}{2}\right).
  • \operatorname{arcctg}\, x > 0 при любых x.
  • \operatorname{arcctg}\, x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad  x \geqslant 0 
\\\pi-\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad x < 0\end{matrix}\right.
  • \operatorname{arcctg} x = \operatorname{arctg} (-x)+\pi/2.

Получение функции arcctg[править | править вики-текст]

Дана функция y=\operatorname{ctg}\, x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=\operatorname{arcctg}\, x функцией не является. Поэтому рассмотрим промежуток, на котором она строго убывает и принимает все свои значения только один раз — (0; \pi). На этом отрезке y=\operatorname{ctg}\, x строго убывает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале (0; \pi) существует обратная функция y=\operatorname{arcctg}\, x, график которой симметричен графику y=\operatorname{ctg}\, x на отрезке (0; \pi) относительно прямой y=x.

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, x \rightarrow -x) и сместить вверх на π/2; это вытекает из вышеупомянутой формулы: \operatorname{arcctg} x = \operatorname{arctg} (-x)+\pi/2.

Функция arcsec[править | править вики-текст]

\mathop{\operatorname{arcsec}}\, (x)\, = \operatorname{arccos} \left( \frac{1}{x}\right)\,

Функция arccosec[править | править вики-текст]

\mathop{\operatorname{arccosec}}\, (y)\, = \operatorname{arcsin} \left( \frac{1}{y}\right)\,

Производные от обратных тригонометрических функций[править | править вики-текст]

(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
(\arccos x)' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}.
(\operatorname{arctg}\, x)' = \frac{1}{\ 1+x^2}.
(\operatorname{arcctg}\, x)' = -\frac{1}{\ 1+x^2}.

Интегралы от обратных тригонометрических функций[править | править вики-текст]

Неопределённые интегралы[править | править вики-текст]

Для действительных и комплексных x:


\begin{align}
\int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C,\\
\int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C,\\
\int \operatorname{arctg}\,x\,dx &{}= x\,\operatorname{arctg}\,x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\

\int \operatorname{arcctg}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arcctg}\, x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\
\int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\,\right)\!\right) + C,\\
\int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\,\right)\!\right) + C.
\end{align}

Для действительных x ≥ 1:


\begin{align}
\int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C,\\
\int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C.
\end{align}
См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Использование в геометрии[править | править вики-текст]

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике, эти функции от отношений сторон сразу дают угол:

α = arcsin (a/c) = arccos (b/c) = arctg (a/b) = arccosec (c/a) = arcsec (c/b) = arcctg (b/a)

Связь с натуральным логарифмом[править | править вики-текст]

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:


\begin{align}
\arcsin z & {}= -i \ln (iz+\sqrt{1-z^2}),
\end{align}

\begin{align}
\arccos z & {}= \dfrac{\pi}{2} + i \ln (iz+\sqrt{1-z^2}),
\end{align}

\begin{align}
\operatorname{arctg}\,z & {}= \dfrac{i}{2} ( \ln(1-iz)-\ln(1+iz) ),
\end{align}

\begin{align}
\operatorname{arcctg}\,z & {}= \dfrac{i}{2} \left( \ln \left( \dfrac{z-i}{z} \right)-\ln \left( \dfrac{z+i}{z} \right) \right),
\end{align}

\begin{align}
\arcsec z & {}= \arccos\left(z^{-1}\right) = \dfrac{\pi}{2} + i \ln \left( \sqrt{1-\dfrac{1}{z^2}} + \dfrac{i}{z} \right),
\end{align}

\begin{align}
\operatorname{arccosec}\,z & {}= \arcsin\left(z^{-1}\right) = - i \ln \left( \sqrt{1-\dfrac{1}{z^2}} + \dfrac{i}{z} \right).
\end{align}

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]