Обращение интеграла Лапласа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пусть функция F комплексного переменного p=x+iy удовлетворяет следующим условиям:

  1. F — аналитическая в области \mathop{\mathrm{Re}}\,p>a
  2. в области \mathop{\mathrm{Re}}\,p> a F\to 0 при |p|\to +\infty равномерно относительно \arg p
  3. для всех \mathop{\mathrm{Re}}\,p>a сходится интеграл \int\limits_{x - i\infty}^{x + i\infty}\! |F(p)|\, dy

Тогда функция F при \mathop{\mathrm{Re}}\,p>a является изображением функции f действительной переменной t, которую можно найти по формуле

f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{x - i\infty}^{x + i\infty}\! e^{pt} F(p)\,dp,\quad x > a

Эта формула называется формулой Меллина, а интеграл — интегралом Меллина (названы в честь финского математика Ялмара Меллина). Во многих случаях интеграл Меллина может быть вычислен с помощью вычетов. А именно, если функция F, заданная в области \mathop{\mathrm{Re}}\,p>a, может быть аналитически продолжена на всю плоскость комплексного переменного с конечным числом особых точек p_1,p_2,\dots,p_n и её аналитическое продолжение удовлетворяет при \mathop{\mathrm{Re}}\,p<a условиям леммы Жордана, то

f(t)=\sum_{k=1}^n\mathop{\mathrm{res}}_{p=p_k}(e^{pt}F(p))

См. также[править | править вики-текст]