Обсуждение:Аналитическая функция

Untitled

Однозначная функция f называется аналитической в точке z0, если она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки z0

Вообще-то Сидоров, Федорюк и Шабунин считают аналитической совсем другую функцию. А именно полная аналитическая функция есть совокупность всех элементов, являющихся продолжением некоторого начального. Т. е. она может быть неоднозначной и вообще не функцией в обычном смысле слова.

Многозначные аналитические функции

Я физик (а не математик), и поэтому стесняюсь править эту статью. Однако же она того определённо заслуживает.

В статье дано определение голоморфной функции. Её, конечно, можно также назвать и аналитической, но зачем использовать для одного объекта два различныь наименования?

Потом, какой может быть ряд Тейлора в комплексном анализе -- здесь правит бал ряд Лорана, и у меня язык не поворачивается, к примеру, назвать функцию f(z)=1/z неаналитической. Нас учили (главным образом -- по Сидорову-Федорюку-Шабунину), что о неаналитичности можно говорить, если имеется существенно особая точка или (тут уже не уверен) точка ветвления. Тот же логарифм, напр., является многозначной аналитической функцией. — Эта реплика добавлена участником Shalaev (о • в) 18:31, 11 мая 2013 (UTC)

В английской вики (например, здесь: https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_function) сходу говорится, что есть два понятия аналитической функции: аналитическая функция действительного аргумента (АФДА) и аналитическая функция комплексного аргумента (АФКА). Которые в чем-то похожи, но сильно различаются во всем остальном. Там же сказано, что функция является комплексно-аналитической тогда и только тогда, когда она голоморфная. Основное отличие АФДА и АФКА заключается в том, что аналитическая функция всегда является гладкой (бесконечно дифференцируемой). А обратное в общем случае не верно для АФДА, но всегда верно для АФКА. Можно также прочитать об этом здесь: https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series#Approximation_and_convergence Clothclub 13:16, 7 мая 2016 (UTC)

• Так называемая «аналитическая функция действительного аргумента» обсуждалась вот здесь. Выяснилось, что в русскоязычной математической литературе подобный термин не употребляется. С уважением, NN21 17:18, 7 мая 2016 (UTC)

Критерий аналитичности функции действительного аргумента

Знает ли кто-нибудь, существует ли такой критерий? Просто странно "раскладывать" функцию в ряд Тейлора, не будучи уверенным, что полученный ряд Тейлора будет равен этой функции. Задача, между прочим, чисто практическая. Clothclub 13:16, 7 мая 2016 (UTC)

• Если функция $f$, которую нужно разложить в точке $x_{0}$, может быть продолжена на некоторую открытую область комплексной плоскости, содержащую $x_{0}$ , и полученное продолжение является аналитическим (или, если угодно, голоморфным) в этой области, то полученный ряд Тейлора сходится (в какой-то окрестности) точки $x_{0}$ к функции $f$. С уважением, NN21 17:30, 7 мая 2016 (UTC)

Допустим, я хочу разложить функцию Коши $f(x)=\left\{{\begin{matrix}0,&\ \ x=0\\e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&\ \ x\not =0\end{matrix}}\right.$ в точке $x_{0}=0$. Эта функция может быть продолжена на некоторую открытую область комплексной плоскости, содержащую $x_{0}$. Действительно, достаточно подставить вместо x комплексный аргумент z, а также рассматривать значения получившейся функции на комплексной плоскости. Полученное продолжение является голоморфным: действительно, эта функция дифференцируема в любой точке $z\neq 0$, поскольку выполняются условия Коши-Римана. Однако же функция Коши не сходится к своему ряду Тейлора в этой области.Clothclub 12:57, 8 мая 2016 (UTC)

• Эту функцию, конечно же, можно продолжить на некоторую область комплексной плоскости, содержащую ноль, однако она не будет аналитической в этой области, поскольку $x_{0}=0$ — существенно особая точка данной функции. Вы и сами справедливо пишете:

  эта функция дифференцируема в любой точке $z\neq 0$…

  Так вот и раскладывайте её в ряд Тейлора где хотите, но только не в нуле. С уважением, NN21 13:10, 8 мая 2016 (UTC)

Вы не шутите, надеюсь? Только в нуле эта функция и совпадает со своим рядом Тейлора. При всех других значениях x ряд Тейлора равен нулю, а функция - больше нуля.Clothclub 13:14, 8 мая 2016 (UTC)

• Похоже, мы говорим о совершенно разных вещах.

1. Я говорю о том, что коэффициенты ряда Тейлора при разложении в точке $z_{0}$ вычисляются по формуле $c_{n}={f^{n}(z_{0}) \over n!}$, правильно? Функция $f$ больше нуля при ненулевых $z_{0}$, правильно? Следовательно, $c_{0}={f(z_{0}) \over 0!}>0$. Стало быть, при $z_{0}\neq 0$ начальный член ряда Тейлора ненулевой. Поэтому ряд Тейлора, как минимум, в точке $z_{0}$ сходится к ненулевому значению $c_{0}=f(z_{0})>0$.
2. Вы говорите о том, что при разложении в точке $z_{0}=0$ все коэффициенты ряда Тейлора будут нулевыми. С этим я не спорю. Но в нуле функция не является аналитической, поэтому ряд Тейлора не сходится к тому, к чему хотелось бы.

С уважением, NN21 13:57, 8 мая 2016 (UTC)

Я уже вижу, что где-то ошибся. Только пока не пойму, где именно. Это тем более обидно, потому что я только вчера правил статью "Ряд Тейлора" - теперь придется опять ее как-то исправлять.

Тем не менее, считаю, что вы тоже неправы (либо я опять где-то ошибаюсь). Во-первых, когда я говорил "для всех z, не равных ноль", я имел в виду ХОТЯ БЫ для таких z. Про z=0 нужно вопрос выяснять отдельно, и, честно говоря, я не вижу, почему в этой точке аналитичность нарушается. Опять нужен критерий, по которому функция не аналитична в этой точке.

Во-вторых, всюду непрерывная и дифференцируемая комплексная функция автоматически является голоморфной. Но не всегда является аналитической, если рассматривать ее только для действительных переменных. В этом и заключается различие таких функций, как об этом написано в английской вики. Это значит, что расширив такую функцию действительного переменного на комплексную плоскость, вы можете получить голоморфную функцию, тогда как исходная функция аналитической не является. Значит, такой критерий априори не является критерием. Clothclub 17:06, 8 мая 2016 (UTC)

Нарушение аналитичности обсуждаемой функции

Причина, по которой функция

$f(z)=\left\{{\begin{matrix}0,&\ \ z=0\\e^{-{\frac {1}{z^{2}}}},&\ \ z\not =0\end{matrix}}\right.$

не является аналитической в точке $z=0$, очень проста. Нельзя говорить о дифференцируемости в той точке, где отсутствует хотя бы непрерывность, правильно? Давайте поочерёдно рассмотрим эту функцию в случае, когда $z=x$ при $x\in \mathbb {R}$, и в случае, когда $z=iy$ при $y\in \mathbb {R}$. Рассмотрим пределы при $x\to 0$ и при $y\to 0$. Первый из них равен нулю, второй равен $+\infty$. С уважением, NN21 17:28, 8 мая 2016 (UTC)

Пояснение на всякий случай. Если мы $x$ и $y$ по-прежнему считаем действительными, совершенно понятно, что $-{\frac {1}{x^{2}}}\to -\infty$ при $x\to 0$, в то время как $-{\frac {1}{(iy)^{2}}}\to +\infty$ при $y\to 0$. В силу свойств показательной функции получаем то, о чём сказано выше. С уважением, NN21 17:40, 8 мая 2016 (UTC)

Ясно. Спасибо большое за ответ!Clothclub 17:42, 8 мая 2016 (UTC)

Сомнительные объяснения

В статье 5 минут назад говорилось:

1. Функция $f(z)=|z|$ не является аналитической в $\mathbb {C}$, так как она не имеет производной в точке $z=0$.
2. Функция $f(z)={\overline {z}}$ не является аналитической по тем же соображениям.

Сами утверждения верны, но объяснения сомнительны. В самом деле, а имеет ли $f(z)=|z|$ производную по комплексному аргументу вообще где-нибудь? Аналогичный вопрос хочется задать и про $f(z)={\overline {z}}$. По этой причине убрал упоминание точки $z=0$. С уважением, NN21 09:40, 13 января 2016 (UTC)

Верно, NN21. Эти функции нигде не имеют комплексной производной. (Можно, например, проверить условия Коши-Римана.) 91.77.218.42 22:19, 24 января 2016 (UTC)