Обсуждение:Группа (математика)

Untitled

Уважаемый автор с IP 195.19.252.54! Приведите, пожалуйста, ссылку на книгу, в которой говорилось бы, что моноид по определению не обязательно содержит нейтральный элемент, то есть просто является полугруппой, а то у меня факт существования таких книг вызывает некоторые сомнения. Abyr 20:01, 27 января 2006 (UTC)

Эпизод I

Нет уж, Тоша, вы потрудитесь объяснить, чем конкретно стало хуже и испарвлять именно то что хуже. По-моему, моя правка изящнее/лаконичнее. То есть объясняет больше, но короче, без пустой болтавни. К чему постоянно обращать внимание на только что прочитанное: "Обратите внимание, что в последней (3-й) аксиоме фигурирует e — нейтральный элемент, который существует по предыдущей (2-й) аксиоме"? Вообще-то, в математических моделях аксиомы должны быть независимы. Или "Заметим, что от группы не требуется свойства так называемой коммутативности". Да мало ли чего от неё не требуется! От меня тоже не требуется, чтоб я был милиционером, альтруистом, гомофобом и пр. Не проще сказать сразу, что "группы, обладающие этим свойством, называются коммутативными" и всё? Почему вы считаете, что свойство перестановочности элементов в группе определять не требуется? Конечность и порядок группы вам тоже не по нраву, эти характеристики можно похерить? Чем плохо, принятое среди математиков обозначение обратного элемента через степень -1? По-моему, это облегчает восприятие - сразу видно, что речь идёт об обратном элементе. Вот вы как обратную фукцию обозначаете? Меня, лично, научили f^^-1. Больше я ничего не менял. По-твоему, Тоша, лучше по-больше пустых, не несущих информации рассуждений да поменьше конкретики? Если тебя не удовлетворяют стандартные математические обозначения/определения, может стоит чем-нибудь другим заняться? Неаргументированные действия расцениваю как хамство, поэтому требую сатисфакции. --javalenok 20:48, 4 февраля 2006 (UTC)

Я не Tosha, но позвольте высказать своё мнение. Во-первых, писать в аксиомах $a^{-1}$ формально нехорошо, т.к. мы только позднее говорим, что так (и то только при мультипликативной терминологии!) записывается обратный элемент. Во-вторых, предложение «В этом случае случае группа может быть счётной или несчётной» абсолютно ненужно. Ну и что, что она может быть счётной или не очень? А ещё она может иметь порядок континуум, а ещё два в степени континуум — и так далее. Насчёт абелевости — быть может, но зачем Вы убрали ссылку на статью? И я уж не говорю о множестве допущенных Вами опечаток. Abyr 20:59, 4 февраля 2006 (UTC)

Раз Вы не отвечаете, приведу ещё несколько примеров из Вашей последней правки. «Группа называется мультипликативной» — не группа называется мультипликативной, а используемая терминология. И запись, соответственно, мультипликативная (у Вас написано «аддитивная»). (ab)^-1 = a^-1 b^-1 — ну, это уж вообще финиш. Далее: аддитивная группа модулем ни в коем случае не называется, модули бывают над кольцами. Кроме того, Вы пытаетесь перенести в статью о группе всю информацию из Словаря теории групп, Теорему Лагранжа и прочие статьи (а в комментариях обнаруживаете нешуточные намерения запихнуть в статью вообще всю категорию). Почитайте их, они уже есть. Опять же не говорю про орфографию и пунктуацию. В общем, Вашу деятельность я бы охарактеризовал скорее как деструктивную. Менять пока ничего не буду, подождём более авторитетного мнения. Abyr 21:29, 4 февраля 2006 (UTC)

Здравствуй нетерпеливая критика.

Не надо, пожалуйста меня винить в том, что по-умолчанию группы считаются мультипликативными и обратный элемент обозначается a^-1. Я ничего сам не выдумываю. Было бы небезынтересно услышать ответ на ваши притезания от авторов и редакторов справочника для научных работников и инженеров. Как мы видим, даже в аксиоматическом определении математических понятий нет единого мнения, насчёт определений и обозначений. Почему же энциклопедия должна представлять только одну точку зрения? Я не убирал альтернативных определений. Автор предыдущей правки также придерживался дефолтовой мультиплекативности групп. В справочнике, действительно нет определения мультипликативных групп, вводятся только аддитивные, мультипликативные проскакивали в интернете - значит группы всё-таки называют мультипликативными, с фактами не поспоришь :) Как я понимаю, любые группы по-умолчанию - мультипликативые, поэтому об этом не говорят, а молча испльзуют соотвестствующие обозначения. Что касается обратного элемента, попробую защитить молчаливых авторов справочника. В матиматике так принято: для записи обратных объектов как правило используя степень -1. Нам в школе ничего не рассказывали про запись знака фунции с показатеями, но это не помешало объяснить смысл/рассчёт обратной функции f^-1, для данной f. Значение символа a^-1 чётко задаётся в аксиоме - обратный элемент любого элемента группы - что не ясно? Аксима не является теоремой, выводимой из обозначений. Просто так совпало, что обратный элемент обозначили тем же символом, что следует из введённой позже граммаики. Вас же не смущает, что элемет a обозначается латинской буквой, а грамматика (алфавит символов) вводится позже? Просто так нагляднее: объекты в математике обозначаются латинским символом, а обратные к ним приправляются степенью -1. Все это знают и к этому стремяться. Тем более, что дефолтавая мультипликативность групп в данном случае сама кладёт карты в руки. Вот вас не удивляло, почему вода кипит при 100С°, а замерзает при 0С°? Как Цельсий свою систему вводил - вообще ужос - сначала обозначил две эти точки, и через них вывел, что 1 градус = одна сотая данного отрезка. Потом, как-бы случайно, выходит, что 1С°*100 = 100С°. Вот вы будете сопративляться определению: "два элемета x и x′ называются сопряжёнными, если x′ = a^-1xa"? А ведь, мы не вводили прежде никаких обозначений касательно числа штрихов или крестиков в определении хитрожёпых опрераторов. Теперь что касается порядка. Вам не нравится, как господа Корн порядок группы преподносят? Предъявите свой вариант. По-моему, хоть какой-то порядок лучше чем никакого. Хотя если справочник для научных работников и инженеров рассматривает только эти случаи, то наверное большего людям смертным знать не положено :) Я не единожды находил опечатки в данном справочнике. Трудно сказать на каком этапе они привносяться, и что именно хотели сказать авторы пиша (ab)^-1 = a^-1b^-1. Хорошо, что вы заметили, я признаться не понял откуда берётся это важное правило и перенёс как есть. Там где, они говорят, что аддитивную группу ещё «модулем» принято называть, ниже идёт, что "Смежные классы по подгруппе G1 аддитивной группы G называются классами вычетов по модулю G1;...". Наверное, какая-то связь с модулями есть. Старых определений я не удалял, если какая ссылка пропала или опечатки - понятож, что от невнимательности. На этот счёт, Пушкин незабвенно отшучивался: "Как губ прекрасных без улыбки, без грамманической ошибки я речи русской не люблю" (с) Пушкин :) Поверьте, я искренне не считаю дядю Мерселоса проституткой и действую из лучших побуждений. --javalenok 10:38, 5 февраля 2006 (UTC)

Спасиб Abyrу, я считаю что твоя (javalenok) правка была объективно хуже, то что происходит сейчас я не читал (прочитаю через пару дней когда накал страстей спадёт). К словам Abyrа добавлю что надо ориентироваться на людей которые хотят узнать что такое группа и помогать им, поэтому немного слов о стандартных ошибках не повредят (не такие уж они пустые). --Tosha 22:11, 4 февраля 2006 (UTC)

Кто ещё считает, что последняя правка не понятна новичкам? Что именно не понятно? Я - не новичёк? Просто узнал из солидного справочника, захотелсь поделиться. По-моему, всё по-русски и предельно ясно. По-моему, одного сухого определения мало, для того чтобы почувствовать - надо хоть каким-то соком наполнить, характеристики ввести. Многое придержал, завязав узелки на память, не стал всё вываливать именно по причине того, что это мало понятно самому и не всякому интересно. Если в главе подгруппы авторы справочника из всего что известно про подгруппы упомянули только теорему Лагранжа (про отношение порядков группы и подгруппы), я думаю это означает, что этот результат действительно чрезвычайно важный/интересный. Мне он тоже показался любопытным. Я плохо поступил разделив свой восторг? У меня не было намерения запихивать всю теорию групп - я не знаю что это такое - в справочнике в главе математические модели:абстрактная алгебра, разделе группы даются только определения. Неужто вся теория только из определений состоит?--javalenok 10:38, 5 февраля 2006 (UTC)

Ладно, я вижу, Вы пребываете в восторге от теории, мне она тоже, как я её узнал, очень понравилась.=) Но Вы же сами говорите, что новичок и не всё понимаете. Я попробую по пунктам объяснить, в чём я вижу неточности, а с чем соглашусь.

1. Абелевы группы. Вы зачем-то убрали на них ссылку — зря: сейчас это, конечно, стабовая статья, но посмотрите в английскую википедию — огромное количество информации, а отнюдь не голое определение. Кроме того, Вы добавили информацию о них в раздел «Получение новых групп из уже известных» — согласитесь, что к получению групп они отношения не имеют.
2. Уже упомянутая счётность/несчётность. Справочник не высшая инстанция, почитайте что-нибудь про кардинальные числа, и Вы поймёте, что эта информация ни к селу ни к городу.
3. Мультипликативной, так же как и аддитивной, называется терминология, т.е. используемые сиволы и языковые выражения. Вы правы, существует понятие аддитивных и мультипликативных групп, но имеются в виду аддитивная и мультипликативная группы поля, с данной статьёй это никак не связано.
4. Из того, что классы смежности называются ещё классами вычетов по модулю, ещё не значит, что группа называется модулем. «По модулю» здесь, можно сказать, является предлогом (в английском это, например, одно слово modulo, образовавшееся из латинского аблатива). Модуль над кольцом — особый алгебраический объект.
5. Вписывать в свойства существование левой и правой единицы не имеет смысла — это не свойства, а аксиома, и она уже была выписана. То же самое с обратным элементом.
6. Насчёт (ab)^-1 — в справочнике (по данной Вами ссылке) всё написано правильно, не очерняйте авторов.=) Кстати, это в статье уже исправили.
7. Писать ли в аксиомах сразу a^-1 — вопрос непринципиальный, пусть остаётся так.
8. Про теорему Лагранжа и прочую массу вещей в комментариях: они уже написаны в отдельных статьях (см., например, словарик), достаточно дать на них ссылку.

А теперь я подправлю немного статью сообразно высказанным предположениям, если Вы не возражаете. Abyr 18:29, 5 февраля 2006 (UTC)

1. Скажите, вот у вас больше регалий, чем у составителей справочника? Почему я должен верить вам, а не им, когда они говорят, что нейтральный элемент всегда нызывается еденицей, аддитивной таки называют именно группу? Проверьте в справочнике (по данной мною ссылке), там отчётливо напечатано: аддитивная группа = группа по сложению, вдруг я опять их очерняю. Насчёт модулей, вы оказались правы, второй выпуск справочника, в отличае от моего бумажного, исправлен и не приравнивает более аддитивную группу к модулю.
2. Ссылка, если какая и пропала, то как и опечатки - от невнимательности. В "образование новых групп из имеющихся" вносил не абелевы группы, а дополнял раздел образованием подгрупп из имеющихся подгрупп и элементов группы. Ведь подгруппы - тоже группы? Они ведь - новые? Так, что не пойму, почему им там не место.
3. Обычно vs. чаще всего: вы проверяли вероятность статистически или существует математический рассчёт? По-моему, если заведено, по-умолчанию, любую группу обзывать мультипликативной, то - это обычай, традиция. И потом, обычай является руководством к действию, при отсутствии других факторов, а статистика - только на выборах. Я не прав? Чем второе вступление лучше?
4. По-моему, от аксиом требуется минимальность. В справочние это явно не указано, но в определении не требуется равенства левой и правой едениц. Их равенство, как я понял, - свойство (следствие, теорема). То же самое с обратным элементом. ;) --javalenok 08:39, 6 февраля 2006 (UTC)

Регалий у меня нет, но алгебру (хотя бы в рамках данной статьи) я знаю, ибо прослушал три семестра её на мехмате. Но, кстати говоря, я не знаю ничего и о регалиях авторов справочника. И даже если они действительно уважаемые люди, то это не повод слепо переписывать материал справочника. На то есть две причины. Во-первых, выдающиеся люди, бывает, выдумывают собственные теории и нововведения, которые иногда не соответствуют действительности. Вот Фоменко — академик РАН, а такие вещи пишет. Во-вторых, есть такая вещь (и в математике тоже), как традиция и общепринятые нормы в данный момент времени. Не принято (по крайней мере сейчас, что там было в 1968 году, не знаю) называть аддитивной группу, если это не аддитивная группа поля. Тут я могу и ошибаться (хотя вряд ли), но лучше для проверки взять отечественных авторов и более новые издания, чтобы понять, что общепринято говорить здесь и сейчас. (Могу порекомендовать книжки Кострикина—Манина и Винберга, например.) Насчёт «чаще всего» — так ведь правда чаще всего, но, раз Вам так это не нравится, я исправлю обратно. Насчёт «единичного элемента»: как Вы могли бы понять из раздела «стандартные обозначения», такое уместно только при мультипликативной терминологии, а при аддитивной это нулевой элемент. Термин «нейтральный элемент» является общим для всех терминологий, поэтому его и следует оставить. Насчёт минимальности: да, правда, можно сделать отдельно по две аксиомы о правых и левых единицах и обратных, тогда их равенство будет тривиальным следствием. Но дело, опять же, в традиции: в Росси сегодня принято писать именно так, как есть. Кроме того, если там будет пять аксиом, а потом куча следствий, то новичкам будет разобраться в этом сильно сложнее.

Подгруппы я перенёс в начало, потому что Вы добавили в простейшие свойства теоремку о пересечении подгрупп. Нельзя же сначала давать теорему о подгруппах, а только потом определение! Но насчёт того, что подгруппы должны быть и в разделе «Получение...», Вы правы, сейчас добавлю. Ешё предложения? Abyr 10:57, 6 февраля 2006 (UTC)

Вопрос не как нравиться мне, а как правильно. Ещё в 1970-м, думаете, пользовалась мультипликативной терминология, а сейчас времена изменились? Всё говорит за то, что и по сей день, по умолчанию, если не известна коммутативность, то используется именно такая терминология. И обозначается элемент буквой e, что указывает на определённую аналогию с обозначением матриц: E - еденичная, A^-1 - обратная. Кроме аддитивной и мультипликативной о других терминологиях ничего не известно. Восторг мой, от знакомства с группами, не в последнюю очередь был вызван хитрым трюком с подстановкой (* → +) и (1 → 0). А расщепление аксиом - не спекуляция? В справочнике говориться: "G содержит (левую) еденицу E …" и не надо отдельной аксиомы для правой еденицы, число аксиом такое же - 3. А отговорка, что минимальный набор аксиом - может потребовать вывода несколько большего числа теорем - он же саму идею аксиоматики дискредитирует. Мир, вон, вообще из пары лептонов(e/ν_e) и пары кварков (u/d) состоит, что есть высшая красота… --javalenok 11:42, 6 февраля 2006 (UTC)

Ну я уж не знаю, чем Вам угодить.=) Да, мультипликативная терминология используется сейчас по умолчанию — я разве возражал? Насчёт 70-х я говорил, что сейчас не говорят «аддитивная группа». Насчёт существования только левой единицы: хорошо, сейчас попробую это доказать, посмотрим, что выйдет. Или Вы и сами умеете это доказывать? Но аксиомы, которые сейчас в начале статьи, следует оставить в любом случае, они сейчас фигурируют везде, поверьте мне. Насчёт аналогии с матрицами — так тут не только с матрицами, во всей математике такие обозначения используются. Но матрицы — кольцо, поймите Вы это, там есть две операции, и матрица E называется единичной, потому что она есть нейтральный элемент по второй операции, умножению.

А насчёт кварков и лептонов — я не физик, конечно, но мне казалось, что их поболе будет... Abyr 12:05, 6 февраля 2006 (UTC)

Дело в том, что всё, включая обозначения групп, говорит о том, что "нейтральный элемент" - никем не используется, никто e нейтральным не называет. Чаще, обычно его называют еденицей, в особых случаях - нулём. Я тоже не физик, стандартную модель читал в популярном изложении. Лептоны и кварки более высоких порядков образуются при высоких энергиях и распадаются именно до этих «атомов». --javalenok 12:36, 6 февраля 2006 (UTC)

Насчёт кварков спорить не буду, не специалист. Насчёт нейтрального элемента повторяю ещё раз: когда выбрана терминология (обычно мультипликативная), говорят «единица» (или «ноль»), но в общем случае, до объяснения разницы в терминологиях, мы просто обязаны называть это нейтральным элементом. Поверьте (не зря же я на мехмате учусь), это достаточно употребительный термин.

Теперь, я надеюсь, все вопросы насчёт содержания статьи разрешены, я прав? Abyr 12:47, 6 февраля 2006 (UTC)

Впервые я о группах услышал от препода дискретки год назад (завкафедрой математики нашего универа), он назвал 3 аксиомы, среди них фигурировал единичный элемент. Потом это справочник. На всякий случай в другой глянул, Э. Маделунг, "математический аппарат физики". Так он тоже с нулевым элементом не церемонится. Когда я даю пример с матрицами, я не сомневаюсь, что единичная матрица "есть нейтральный элемент по второй операции, умножению", я провожу параллели: (A^-1 - обратная матрица ⇔ a^-1 - обратный элемент), (E - единичная матрица ⇔ e - ... элемент). Это просто тест на IQ =) Кстати, он тоже в аксиомах не требует равенства левых и правых единичных/обратных элементов, достаточно левого. Почему во всех местах, куда я суюсь, мне сообщают, только о единице и ничегошеньки о нейтральном элементе? Кому нужен нейтральный элемнт, если, вся запись либо мультипликативная, либо аддитивная и никакого нейтралитета? Это не надуманное усложнение? Более того, выше мы выяснили, что до ввода грамматики, мы вольны определять/использовать в аксиомах любые символы. Почему же мы не можем использовать произвольную терминологию? На этот счёт существуют предписания? --javalenok 16:55, 6 февраля 2006 (UTC)

Javalenok, неужели Вы не поняли, что я имел в виду, когда говорил про матрицы? Там E называется единичной, потому что она есть нейтральный элемент по умножению. У матриц есть и по сложению нейтральный элемент — нулевая матрица. Если вы не верите, что такие термины используются, я Вам уже привёл в пример книжки: учебники по алгебре Кострикина—Манина (наверное, в III части там про группы), Э.Б. Винберг. Ван-дер-Варден, если хотите, очень уважаемый учёный. Ещё так говорят все профессора на мехмате МГУ — это что, по-вашему, ничего не значит? Ещё взгляните на любую другую википедию: английскую, французскую — да какую угодно. И Вы опять увидите это название. Про терминологию сейчас в статье всё рассказано. Вы что, нейтралоэлементофоб? Или просто спорить очень любите? Или почему ещё он Вам так не нравится? Abyr 17:08, 6 февраля 2006 (UTC)

А вы поняли, что я провожу параллели между символикой и названиями? Почему был выбран именно символ e, а не более логичный N-нейтральный или I-identity? Я читал руководство Вики, там рекомендовалось обогащать версии других языков своими переводами, а не обрезать их до соответствия. Но раз уж вы настаиваете, то пожалуйста, убираете у себя то, чего нет у них. Да, в статье "группы" они замечают, что identity положено использовать только для мультипликативных групп (слыште групп, а не записи), и нулевой для аддитивных, и далее везде шпарят identity. Более того, группу они альтернативно определяют как полугруппу (ассоциативность) с единичным и обратным элементами. Повсему выходит, что нулевой - частный случай еденичного элемента. Кстати, у них объяснено, почему определение "группа = моноид + обратный эл-т" можно ослабить, выкинув требование равенства левых и правх, т.к. оно следует из ассоциативности и существования левых эл-тов. Ихним новичкам такая пляска не мешает. Хотя в моей редакции было проще: в определении только левый элемент, равенство с правым - первоочередные следствия. Единственное, что не было сказано, каким образом они получены. Теперь что касается происхождения. В Contemporary Abstract Algebra By Joseph A. Gallian объясняется что identity element единичен, поэтому обозначается буквой 'e'. Обозначение пошло от немецкого Einheit - единица. Пусть существует ещё нулевая, но идея матричного умножения восходит к преобразованию, поэтому любое identity transform -- не какое-то там нейтральное или нулевое преобразование, а вполне единичное. Люблю не столько полаяться, сколько проникнуть в суть ;) --javalenok 18:34, 6 февраля 2006 (UTC)

Я вообще в их википедии посмотрел только сегодня в первый раз, до этого руководствуясь упомянутыми мной книгами и профессорами. Про левые элементы я, если Вы не заметили, добавил информацию уже сегодня днём. Предлагаю оставить всё как есть и отдохнуть от споров — да и места уже остаётся мало.=) Abyr 18:42, 6 февраля 2006 (UTC)

Я вас не гоню, плоды уже вижу. Про "иной путь" писать, по-моему, не гоже, неудачная фраза - у англичан куда более пристойная, позаимствуем. И насчёт порядка не понял, зачем убрали определение, разве оно наследуется из множеств? Так там вроде, порядок мощностью называется. Мы же не можем писать теоремы про порядок, не говоря, что это такое. Кстати, в теореме Лагранжа вы тоже повсеместно единицу эксплуатируете, а не нейтральный элемент. --javalenok 19:39, 6 февраля 2006 (UTC)

Я ж не говорю, что единица — это плохо. Так можно писать везде, кроме как до введения терминологий, т.е. нельзя так писать ровно в одном месте — начале статьи про группы. Определение порядка никуда не делось, оно на месте. Если Вы имеете в виду бесконечный порядок, то с ним не всё так просто: он может быть $\aleph _{0},\aleph _{1}$ и т.д., для разъяснения дана ссылка на множества. Abyr 19:48, 6 февраля 2006 (UTC)

Значит «до введения терминологий» можно говоритиь только о нейтральном элементе, но никак не о единичном? Это логика такая гуманитарная, что ли -- нужно ввести новое слово потому что другое «ещё не введено»? Вообще-то единичный введён ещё для полугрупп. И что-то мне подсказывает что у вас и в продолжении статьи про группы терминология всё ещё останется «не введенной». Кстати в последней правке у вас проскочила оговорка "по фрейду" - доверьтесь чутью. ;) --javalenok 20:24, 6 февраля 2006 (UTC)

Это вы не поняли что из определения обратной матрицы AA^-1 = I однозначно следует что в матрицах используется используется мультипликативная терминология. Изначально идея матриц - представление линейных операторов и их композиций. Операция композиции удовлетворяет групповым аксиомам, кроме коммутативности. Именно поэтому для матриц (читай преобразований) по умолчанию используют мультипликативную терминологию, где identity является «единичным» оператором, а никаким не «нейтральным». Сложение и кольцо сюда приплетать вовсе не обязательно, только если вы хотите сбить с толку. Ваша замена степени -1 на штрих укладывается в последовательное навязывание невесть откуда взявшейся «нейтральной» терминологии с приданием забвению принятое всюду по умолчанию умножения. --javalenok 09:19, 25 октября 2010 (UTC)

Штрихами, вроде как не обратные, а сопряжённые элементы принято обозначать. --javalenok 20:49, 6 февраля 2006 (UTC)

Сами же сказали, что не важно, как мы что обозначим. Я обозначил так, чтобы не писать неудобочитаемое $(a^{-1})^{-1}$. Abyr 21:10, 6 февраля 2006 (UTC)

Вы не правильно читаете. Я сказал что принято в минус первой и незачем кругами пользователей по-пусту водить. Если аксиома определяет обратный элемент, для которого ещё не существует символа - вольному воля. Почему бы сразу не ввести стандарт. Что такое штрих - никто не знает, а когда узнает, возникнет противоречие. Я бы исправил. --javalenok 21:22, 6 февраля 2006 (UTC)

О javalenokе

Дорогие друзья я сейчас в отпуске, править ничего в ближайшее время не собираюсь, но то что здесь происходит внушает серьёзные опасения. Очевидно что сильно не прав javalenok, вот почему:

1. javalenok берётся за статью в которой мало чего понимает

Вобщем правку javalenokа я расцениваю как непреднамеренное вредительство, но на это не обижаюсь потому как в молодости сам был такой напористый и глупый.

Дорогой javalenok, пожалуста пишите статьи только при условии если вы понимаете 100% и плюс знаете в 10раз больше связанного матерьяла, при этом не стоит пользоваться подозрительными справочниками, пишите только то что сами понимаете очень хорошо.

Может быстро не отвечу но когданибудь обязательно --Tosha 13:59, 10 февраля 2006 (UTC)

Ну а я твою правку расцениваю как вредительство, и что? Давай теперь откатывать туда-сюда. Я задавал конкретный вопрос - по какому праву вы вводите символы a и b для обозначения элементов, предварительно не введя грамматики? Чем символ a^-1 неуместнее? Ваши действия похожи на параною, вы пытаетесь определять неопределимое. То, что еденичный правомочно называть нейтральным, сожрали? Свойств - несметное число, к чему писать, что от объекта не требуется каких-то "так называемых", всех всё равно не перечислишь? Конструктивом считатете кастрацию существа и флудинг пустой водой? Зачем убирать разъяснение причины избыточности аксиом? Куда делось определение подгруппы, порядка группы - как вы подаёте теорему Лагранжа без последнего определения? Не вам, сударь, с таким подходом о связности рассуждать. Навязывание необоснованной своей точки зрения как раз таки обличает невежество. Сентенции насчёт молодости и горячности отнеси к себе. Ты даже не удосужился разобраться, кто автор последних изменений, приписав мне работу Abyr'а и покоцав её. Вобщем, последние твои 6 правок - пустопорожние передёргивания и кастрация статьи, непревносящие ничего кроме обеденния её. Пусть издательство «Наука», где отпечатаны оба мои стравочника, для вас подозрительно -- привидите список признаваемых вами справочников. Использование разных обозначений учёными людьми не означает непонимания между ними. Вы же надменно уничтожаете альтернативные мнения, полагая излишним опускаться до выяснений объективности. Где сказано, что допуском к редактированию Вики-страниц является 10х 100%-е понимание материала? Советчики пишут: en:be bold - пиши о том, что доставляет удовольствие, в чём разобрался и считаешь познавательным для себя и других. Не удаляй без обсуждения спорных вариантов. И ещё, почитайте о малозначительных изменениях. Косметическими разрешается помечать лишь грамматические опечатки и форматирование. Все прочие изменения, затрагивающие содержание, могут заинтересовать остальных участников, и их пометка называется вандализмом. Тоша - вандал. --javalenok 13:55, 19 февраля 2006 (UTC)

И ещё, дорогие друзья, свойства обязательной единицы, обязательных обратных элементов ДОКАЗАНО в МНОГОПОЛЯРНОСТИ (а не постулируютя) где "бинарные группы" являются частным случаем. Автором многополярности является В.В.Ленский. Кстати, на базе его разработок получены приборы не с "бинарными" "плюс - минус" (электр.), "анод-катод" (эл.химия), "север-юг" (магнит). С уважением, Chren.

По-моему здесь не на что отвечать, на все вопросы уже ответил Abyr --Tosha 16:42, 19 февраля 2006 (UTC)

Здесь действительно нечего отвечать, реплика Chren-а не требовала объяснений. Abyr же показал, что не все математики - ксенофобы. С ним у нас был достигнут конценсус, возражений на мои предложения он не высказывал. --javalenok 19:15, 19 февраля 2006 (UTC)

Со мной конценсуса не было :) Не надо больше портить. И не надо заниматься буквоедством. --Tosha 19:58, 19 февраля 2006 (UTC)

То что с вами не было консенсуса, не означает, что я согласен с вашим ограниченым взглядом. Я уже обращался к вам с призывом потрудится объяснить сперва, в чём заключалась моя порча той версии, которую вы покоцали. В противном случае, я не могу никак гарантировать, порчи не повториться. Что до буквоедства и дотошности - эти качества как раз необходимы в детальном разборе вопроса. Без них не установишь правоты, это основной принцып судопроизводства, иначе, без разбора обстоятельств, у грубой и тупой силы появляется шанс взять верх над справедливостью! --javalenok 14:46, 20 февраля 2006 (UTC)

Звёздные войны, Эпизод II

Во-первых, на реплику г-на Chren прошу внимания не обращать, это орисс (см. Поляризованые числа). Теперь что касается вновь объявившегося javalenok'а.

1. Альтернативные мнения — это в истории, политике и т.п. В математике всё должно быть чётко.
2. Замечание про то, что не все группы коммутативны, — для тех, кто впервые видит определение. Ибо 95% таких людей входят в заблуждение и считают их коммутативными.
3. Краткий справочник научного работника (читай, инженера) — это явно не та вещь, которой следует руководствоваться при написании обширных математических статей. Читать нужно развёрнутую математическую литературу, а примеров я Вам привёл уже достаточно. Сначала прочитайте что-нибудь из этого, а потом давайте обсудим, что Вам там не понравилось. Abyr 21:08, 19 февраля 2006 (UTC)

Что у меня не чёко? Главное - не доводить точность определений до паранои. Зачем искать новых проблем, обсуждать то, о чём я не составил собственного мнения? Я ваш справочник не читал, поэтому мне в нём ничего "не понравилось". "Развёрнутая" - это где написано, так как вас учили, вы считаете ваш родной язык единственно правильным? Зачем я буду заглядывать в ваш справочник если он не освещает обсуждаемого вопроса, а просто использует язык автора? Вы конкретно можете возразить на доТошную правку? Зачем он поудалял определений? Просто по-инерции - обещал это сделать и исполнил обет? Вы же мои вопросы оставляете без ответа, я так понимаю, что возражений нет. Наконец, чем вам не угодил справочник инженера, вы думаете большенство пользователей матиматики - с кафедры? Уверен, что "профи" знают всё о группах "на зубок". Перечитайте ещё раз названия справочников, первый - "Справочник по математике для научных Заголовок ссылкиработников и инженеров", он никакой не "краткий" и никакой не "читай" - авторы чётко в самом названии книги отделили инженеров от научных работников, второй - для физиков. Вы же читаете как вам угодно. --javalenok 22:57, 19 февраля 2006 (UTC)

А что до коммутатитности - даётся внятное определение, связное со свойством перестановочности элемнтнов. Если ваши клиенты не понимают таких тривиальных определений, если они не способны сделать выводы о том, что из того, что переставлять операнды разрешено не во всех группах, то должны существовать группы, где этого делать нельзя, если они не понимают, что из существования некоторого двоичного признака (на основании которого тут же ввдятся две разные грамматики, кстати сказать, что уже предполагает существование тех и других, иначе - чего придумывать особые обозначения для принципиально несуществующих некомутирующий объектов) следует, что этим свойством наделены не все объекты - встаёт вопрос об умственной неполноценности вашей аудитории. Извините, за длинные предложения - недоумеваю, как можно бороться с маразмом. Как ещё можно назвать упомянание о том, что группа необязательно некоммутативна, непосредственно перед определением коммутативности? Ну если человек читает определение и не может его понять и сделать соответствующие выводы - значит, наверное - хреновое определение. --javalenok 14:25, 20 февраля 2006 (UTC)

Я только хочу сделать статью лучше. Для определений есть словарь терминов теории групп, кроме того большинство из них осталось в статье --Tosha 00:58, 20 февраля 2006 (UTC)

Я тоже не из вредности статью стал разрабатывать. По-моему, человек, который полез сюда за определением, набирает «группа» и ожидает увидеть то, чем она является. Он хочет получить стройное представление о предмете, узнать об основных свойствах и мерах предмета, способах обозначения и обращения с группами. Поэтому подгруппы и порядок очень кстати именно тут. В противном случае, все ваши примеры - китайская грамота - пользователь вынужден выискивать доодопределения основных понятий в словаре прежде чем понять иллюстрации. Зачем ползователю непонятные поясняющие примеры, что они прояснют? Не абсурд? Не знаю как относиться к словарю, в принципе он не мешает, но разбивать цельное представление ему в угоду не гоже. В итоге, рождаются монстры типа "помните, что совйство коммутативности не обязательно ..", вываливается куча неконструктивной избыточности, а всё оттого что у читателя не возникает цельной картины. Именно поэтому, я настаиваю на том, чтобы базовые подопределения присудствовали в статье. Также решительно необходимо вернуть объяснение о причинах избыточности аксиом. Поскольку, сея странность немедленно вызывает недоумение в головах у людей мыслящих, и совершенно непонятно зачем вы так настойчивы в удалении этого разъяснения? Я снова вижу, что вы переименовали единичный элемент в нейтральный, не имя ничего возразить по существу. В результате, внимательный читатель, встречающий единичный элемент в тексте своём, оказывается в невинном недоумении - почему элемент абстрактной группы так называется? Ведь господа на Вики запрещают именовать единичный элемент единичным до выяснения комутативности группы и призывают называть так исключительно единичные элементы абелевых групп. Вы можете конкретно указать на источник, предписывающий по-русски называть единичнй элемент нейтральным? Я ещё раз прошу не доводить до маразма. Помните, что Дж. фон Нойман полвека тому назад предупреждал, что "излишняя формализация и символизация математической теории опасна для здорового развития математической науки", иначе два математика, работающих в соседних комнатах, перестают понимать друг-друга. Похоже, вы - жертвы этой погони, тогда как инструкции советуют редактировать Википедию руководствуясь здравым смыслом. То большинство, которое по-умолчанию называет спорный элемент единицей имеет свою логику, и по-моему она гораздо более логична и не менее "чётка" чем ваша нейтральная, и вы не вправе навязывать всем своих определений. --javalenok 14:25, 20 февраля 2006 (UTC)

Господин javalenok, это уже переходит все границы. Я Вам двукратно указал три книги, в которых всё написано. Я конкретно указал Вам на источники, Вы удосужились в них заглянуть? Во-вторых, Вы недозволительно для автора научной статьи путаетесь в излагаемом материале (Вы пишете: «Ведь господа на Вики запрещают именовать единичный элемент единичным до выяснения комутативности группы и призывают называть так исключительно единичные элементы абелевых групп»). Ещё Вы сами писали, что не понимаете, почему верно элементарное тождество (ab)^-1 = b^-1 a^-1. Как с такой подготовкой можно делать такую ответственную работу? Abyr 14:52, 20 февраля 2006 (UTC)

Во-первых, я не автор научной статьи, ничего нового в науке не предлагаю. Я лишь редактор - собираю замечательный материал. Я верю, что понятие "нейтральный элемент" используется достаточно широко, чтобы оставить упоминание об этом в энциклопедии. Но это не повод скрывать другие определения. В предлагаемых вами справочниках вопрос названия спорного элемента освещён? Вы можете ответить коротко - «да» или «нет»? Хватит от меня отделываться фразами «пойди почитай чего-нибудь», «учи матчасть» - у нас разговор конкретный. На изложенные мною соображения, почему элемент во многих источниках называется именно единичным, а не нейтральным какие-либо возражения созрели, кроме того что в некоторых ВУЗах принято по-другому или смехотворных отговорок «я на английском сайте впервые»? Зачем вы тогда отправляли меня туда? Не боитесь, что с вашими справочниками выйдет так же как с английским Вики? У вас очень узкий кругозор, если не верите, что в математике существуют спорные определения, взгляды на один и тот же объект. Вот например спор, о "единичности нуля". Чтобы не следовать за нелепыми течениями, мне важно знать, чем одно определение хуже другого, а не то что логик перевалило за сотню. Вот у вас в моноиде нейтральный - синоним единице, а определяя группу через моноид, они перестают быть синонимами! Это же - бред, нарушение основ. Как быть несчстным, не уверенным, что моноид с которым они имеют дело является группой или нет - позволительно ли им называть элемент единичным? Где я оспариваю положение о важности чёткости в математике? ГДЕ Я ЧТО НЕЧЁТКО СФОРМУЛИРОВАЛ? Отвечайте же за свои слова! Признайте, хотя бы, что попали впросак, приравняв инженера к научному работнику. Вы же не знаете что такое наука и технология! Да как вы смели писать научные статьи! Давайте я сейчас поставлю под сомнение ваши математические способности на основе того, что вы просто русского языка не разумеете. Вы только и умеете, что приставать к тому, с чем я не спорю, оправдываетесь этим. Софист! --javalenok 17:31, 20 февраля 2006 (UTC)

Вы просили источников — я Вам привёл три. Теперь Вы их отказываетесь читать; тогда и не просите. На замечания по поводу Вашей вопиющей безграмотности Вы тоже не ответили. Вы поняли наконец, почему (ab)^-1 = b^-1 a^-1? Вы даёте ссылку на статью о Бурбаки. Вы читали Бурбаки, чтобы ссылаться на обсуждение его книги? Я, например, читал. Про номенклатуру я Вам объяснил уже всё, что можно; здравомыслящему человеку достаточно было бы и пятой части. Про единичный элемент в статье всё давно уже написано, как и про нулевой. Про английскую википедию Вы вообще что-то лишнего хватили: там положенный neutral element. Хватит буквоедствовать и флудить. И писать прописными не надо — это mauvais ton. Abyr 18:35, 20 февраля 2006 (UTC)

Мне не нужны источники непонятно на что. Вы не видите, что вам задаётся конкретный вопрос - «да» или «нет». Ссылку давал не на Бурбаки, и не интересовался вашими мнением о его творчестве. Просто говрю, определения в математике могут быть разными и не нужно пытаться довести математику до абсурда. Про номенклатуру объяснил вам Я, и не то что пятой доли - вообще никаких возражений не последовало, решил - консенсус. С английской вики исторя повторяется. Вы опять читаете мельком, как вам хочется - поглядите сверху, вы меня уже засылали туда за нулевым элементом. После того как я побывал там, составил подробное досье насчёт neutral = identity, вы не нашли более жалкого оправдания своей правоты кроме того, что вы были на en:wiki впервые. Жду, когда вы признаете что дважды не правы. Вольфрам - молодец, громогласно подтверждает мои предположения, касающиеся происхождения слова:

The identity element I (also denoted E, e, or 1) of a group or related mathematical structure S is the unique element such that Ia = aI = a for every element a in S. The symbol "E" derives from the German word for unity, "Einheit." An identity element is also called a unit element.

Лучше не скажешь. Какой из ваших справочников утверждет, что группа - не структура и к ней не применимо определение единичного элемента? Перестаньте парить мозги людям математической строгостью, фактически софистикой заниматься. Или вы на физиологическом уровне неприемлите единичные элементы? Это последствия "бурбакизации", это заразно? Вы сами-то поняли, почему «инженер» ≠ «научный работник», не стыдно неустанно попрекать человека за то, что тот некогда чего-то не понимал? Не является ли это поведение признаком неблаговоспитанности (mauvais ton)? Дрной тон - наплевательское отношение к чужому мнению, самоуправство. Обвинять жертву произвола за недовольство, пренебрежительное отношение к вопиющим словам своим - вот что по-настоящему переходит все границы... Можете спать спокойно, вседержитель наш, благодаря вашему усердия снезошло до меня озорение, извольте: (ab)^-1(ab) = e = b^-1b = b^-1eb = b^-1(a^-1a)b = (b^-1a^-1)(ab) ⇔ (b^-1a^-1) = (ab)^-1. Можно вас тоже казуистом обозвать за то что заметили ошибку, когда я вепервые эту формулу привёл, почему молча не исправили очевидную опечатку, зачем вонь поднимать было? Кто из нас буквоед, тот кто придерается к маразму в содержании или тот кто до одури попрекает оппонента сулчайно допущеной оплошностью, только потому что это единственный аргумент, кроме высокородного своего чина. Какие ещё объяснения моей вопиющей безграмотности вам нужны? --javalenok 20:38, 20 февраля 2006 (UTC)

Мне в руки попался ещё один справочник по математике (Цыпкин, переиздание 1988г). Аксиомы определяют свойство бинарной операции (обычно называемой умножением). В аксиомах определяется только единица (левая). Равенство левых и правых приподносится в простейших свойствах. Далее, если групповую операцию называют называют умножением (что и было принято выше), то группа называется мультипликативной. Если же групповую операцию если же групповую операцию называют сложением, то группа называетя аддитивной. В этом случае вместо единицы группы говорят о нуле группы и обозначают его символом 0. Поразительно, третий справочник и снова - ничего про нейтральные элементы. Всё указывает на то, что кто-то в своей политкорректности "дощёл до ручки". Заставь, как говорят, попа богу молиться он лоб расшибёт. Я ещё в бинарных операциях напортачил, снова ввёл нуль общепринятым способом - как единица, относительно оп. сложения. Ответные действия Империи? --javalenok 11:56, 13 апреля 2006 (UTC)

Дорогой javalenok, с возвращением Вас! Ответных комментариев на эту тему больше не будет, т.к. флуд — не наш метод (см. секцию ниже). Если Вы считаете, что мы неправы, обращайтесь в АрбКом. Всего наилучшего, Abyr 13:35, 13 апреля 2006 (UTC)

Вот хороший пример из Цыпкина: "Множество всех целых чисел чисел образует группу относительно операции сложения — аддитивную группу целых чисел. Эта группа абелева в силу коммутативности операции сложения целых чисел. Роль единичного элемента в ней играет число нуль." Обращают на себя внимание две вещи. Во-первых, аддинивна именно группа, а не терминология. Во-вторых, есть чёткое завление, что нуль - это единица аддитивной группы, а не нейтральный эл-т аддитивной группы. А флуд - понятие субъективное, кому любые науки, разбор - флуд. "Держи вора" громче остальных кричат именно воры, обвинения во флудерастии как правило раздают поверхностные завсегдатаи форумов. Здесь я столкнулся с явлением двух студентов, не приемлящих общепринатой практики, факты и логику. Получилась странная дискуссия, состоящая в игнорировании и отрицании приводимых фактов. Их слова - проклятья, их метод (убеждения) - грубая сила. Вы правильно опредилили это явление как "ксенофобию". Выхода нет - будем обращаться. --javalenok 17:32, 13 апреля 2006 (UTC)

О javalenke и группах

Договориться с javalenkом невозможно, на одну фразу он отвечает страницей бессмысленной трепотни. К вандалам его отнести нельзя, но он способен принести больше вреда чем любой вандал. Очевидна его искренность и узнаваемо его упорство, всё ему прощу, но статью губить я не дам. --Tosha 22:08, 20 февраля 2006 (UTC)

Договориться не возможно? А вы пробывали до-говорить? - Высокомерно бросате фразы и выносите диагнозы. Для вас одни определния - пустая болтовня, кому-то - вся математика... --javalenok 22:34, 20 февраля 2006 (UTC)

Да-да, не удивлюсь, если скоро появятся статьи javalenok'а о том, как его теорию притесняют необразованные википедисты (или замаскированные спецслужбы, как «Теорию многополярности»), или появится новая марро- или фоменкообразная теория о том, что neutrality = identity = unity. В общем, присоединяюсь к Тоше и отныне прекращаю флудить.

Эта теория не может появиться в принципе. Нравиться вам это или нет, но фактичекси neutrality = identity = unity. Это не я придумал, я только открыл. И это не просто теория, это - факт и фаменко тут не при чём. Не удивительно, что у вас не нашлось чем крыть. Вы меня ещё в оккультизме обвините и приговорите к сожжению. Я бы советовал не отрываться от земли, не перечить фактам. "Единичный" наследуется из базового класса - моноида, а скрывать аттрибуты базовых классов при наследовании строго запрещается, в ООП я кое-что смыслю. Например, у вас есть метод, принимающий моноид в качестве аргумента. Вы можете свободно передатавать любую группу как моноид на обработку в эту функцию. Группа обязана иметь аттрибут с именем identity, функция знает, что такой элемент есть, и будет его искать (по имени) - скройте его или переименуйте и ваша группа перестанет быть моноидом, а пользователь (функция) перестанет понимать ваши группы. Никто не запрещает вводить вам neutrality, дублирующий identity, и прочую избыточность, однако помните, избыточность - признак непродуманного дизайна. Добавляя нейтральный вы вводите избыточность, отменяя единичный вы делаете свою теорию несостоятельной. --javalenok 21:04, 21 февраля 2006 (UTC)

Мда. Столько понаписал, что сто мудрецов не разберутся. И что самое смешное, избыточность ему видите-ли не нравится :) А вообще я не думал что тут бывает весело как на форуме. Incnis Mrsi 18:00, 22 мая 2006 (UTC)

Поддерживаю Abyr. Правда, справочников не читал, ограничился окончанием мех-мата МГУ. ПБХ 16:31, 17 мая 2006 (UTC)

Спасибо за поддержку. :) К счастью, javalenok уже давно эту статью оставил (он вообще с 22 апреля ничего не писал). Abyr 17:49, 17 мая 2006 (UTC)

• Да у вас, неучей мехматовских, просто ксенофобия ко всем кто не из вашей групы. Вот и Виноградовская "Математичская энциклопедия" подтверждает, что элемент единичный, а не нейтральный. Обратите внимание на адрес ссылки, кем рекомендовано издание -- вы не из мехмата. ;_) --javalenok 19:11, 12 декабря 2008 (UTC)
• Арнольд: Коммутативные группы (где произведение — выполнение подряд — преобразований не зависит от их порядка) называются в алгебре абелевыми ввиду важности для его теории некоммутативности перестановок кубов. Почему он групповую операцию называет "выполнением операций подряд" и "произведением"? --javalenok 11:22, 15 июля 2011 (UTC)

• тождественные отображения (identity функция и оператор) тоже называют единичными (а не нейтальными). Пойди подчисти. --javalenok 18:11, 10 апреля 2012 (UTC)

Английская википедия во-всю применяет понятие "умножение", "произведение" и "деление" ко всем группам, замечая что эта традиция пошла от мультипликативных групп. Они прямо в определении группы обозначают identity элемент 1, специально для вас без всяких терминологий. Так что не надо тут кривить на всякие кольца. --javalenok 15:24, 18 августа 2012 (UTC)

Более понятное определение группы

На мой взгляд, любые понятия, но в особенности сложные, следует начинать с определения, максимально понятного большинству читателей. Особенно это важно для таких понятий, которые обозначаются обыденными словами (группа, действие), вызывающими ложное чувство понятности. В этом смысле, первый абзац данной статьи обладает следующими недостатками: (1) употреблены слишком специальные термины "бинарная операция" и "аксиома", которые не нужны. Вместо них лучше употребить "двухместная операция" или "операция, подобная умножению", и "свойство" соответственно. Кроме того, (2) в определении не подчёркнута суть понятия, приём, используемый при построении других структур: векторых пространств, полей и так далее. Из определения не видно, что заменив операцию и аксиомы, можно превратить группу в векторное пространство при тех же самых элементах множества. Ниже идёт предлагаемый текст (хотя непонятно, почему это надо делать в обсуждении). Dims 01:02, 9 сентября 2006 (UTC)

Гру́ппа (абстрактная алгебра) — совокупность математических объектов («элементов»), для которых определена операция («групповая операция»), удовлетворяющая определённым (указанным ниже) свойствам (подобным свойствам умножения чисел). Отличие группы от простого множества состоит в том, что элементы рассматриваются не сами по себе, но совместно с операцией с определёнными свойствами. Если операция имеется, но она не одна или у неё другие свойства, то получается уже не группа, а другой объект, например, векторное пространство. Dims 01:02, 9 сентября 2006 (UTC)

Из Обсуждение участника:Tosha — минимальная система аксиом

Здравствуйте. Не могли бы вы пояснить, чем вам не понравилось то, что в определении группы был сразу указан минимальный набор аксиом, а в комментариях было доказательство идентичности левого и правого обратного (нейтрального) элементов? Я считаю, что в определении математических понятий необходима максимальная строгость. --Baeble

Моё мнение такое: Опеделение должно быть не самым минимальным а самым простым для понимания (при этом правильным). Про минимальное определение сказано в замечании и этого достаточно. --Тоша 13:34, 16 октября 2009 (UTC)

Я согласен с тем, что в «шапке» статьи определение должно быть наиболее доступным для понимания. С другой стороны, так как проект «Википедия» является энциклопедией, в разделе «Определение», по моему мнению, стоит соблюдать математическую строгость.

Я считаю, что в случае определения группы, одного из фундаментальных понятий математики, такая строгость необходима. При прочтении определения у читателя может возникнуть вопрос: зачем требуется коммутативность для единичного и обратного элементов, когда для остальных элементов этого не требуется? Определение с левым единичным и обратным элементом считаю более лаконичным и не сложным для понимания. Считаю, что именно это определение должно быть основным, а не упоминаться в комментариях. --Baeble 15:12, 16 октября 2009 (UTC)

На надо путать «строгость» и «минимальность». На мой взгляд, дано эквивалентное, более доступное определение. и это есть хорошо. --Тоша 02:22, 17 октября 2009 (UTC)

Определение с левым единичным и обратным элементами как раз менее лаконичное. На мой взгляд, определение, которое сейчас основное, более чем строгое и наиболее естественное. Его неминимальность должна показываться (и показывается) в примечаниях.--Bopsulai 06:58, 17 октября 2009 (UTC)

Извиняюсь, что не совсем корректно использовал термин «строгость». Под этим термином я понимал совокупность «математико-логической» строгости выражения (определения) и строгость «математических рассуждений», которые к этому выражению (определению) приводят. Полностью согласен, что определение, которое сейчас основное, является математически строгим и эквивалентным минимальному. На счёт его лаконичности я всё-таки придерживаюсь своего мнения, но так как дискуссия по этому поводу скорее будут относиться к «математической эстетике», чем к математике, не считаю целесообразным её продолжение. --Baeble 07:46, 17 октября 2009 (UTC)

Прежде всего хотел выразить благодарность Baeble за то, что поднял эту тему, и за желание улучшить статью. Мне кажется, любому человеку, знакомому не только с алгеброй, но и с матлогикой, интересен и важен вопрос о системе аксиом и её свойствах. По существу: мне кажется, в такого рода диллемах нужно обращаться к хорошим книжкам (не справочникам), несмотря на то, что Википедия это не книжка. Я посмотрел в пару хороших, на мой взгляд, учебников по алгебре, получилось следующее. В довольно старой книжке ван дер Вардена определения «односторонние». У Ленга «двустороннее». В хороших современных учебниках Dummit&Foote и Hungerford — «двусторонние». В этой связи моё предпочтение на стороне «двустороннего» определения и соответствующего замечания, что есть «одностороннее» определение, и оно эквивалентно основному («двустороннему»). — Artem M. Pelenitsyn 17:36, 17 октября 2009 (UTC).

Присоединяюсь. Двусторонее определение + замечание. Burivykh 13:25, 22 октября 2009 (UTC)

Требование замкнутости.

Если я не ошибаюсь, следует упомянуть о требовании замкнутости: введенная операция не должна выводить за пределы рассматриваемого множества, иначе группой такую структуру назвать нельзя будет. Прокомментируйте, пожалуйста. 85.140.208.191 21:24, 3 августа 2010 (UTC) Человек 85.140.208.191 21:24, 3 августа 2010 (UTC)

Указанное в определении группы отображение $\,*\,\colon G\times G\to G$ уже ликвидирует Ваши опасения, ибо из его вида следует, что операция не выводит значения за пределы множества G. --Bopsulai 00:49, 4 августа 2010 (UTC)

Забыл про это, спасибо! 85.140.123.217 12:14, 7 августа 2010 (UTC) Человек 85.140.123.217 12:14, 7 августа 2010 (UTC)

Ноль

может ли группа иметь ноль ,например ноль при умножении я так понял нет 94.75.44.31 17:54, 1 октября 2010 (UTC)

Нет (кроме тривиального случая группы из одного нуля), поскольку у нуля не может быть обратного элемента . А вообще, здесь обсуждается содержание статьи, а не понятие группы. Читайте учебники :-) --Bopsulai 20:12, 1 октября 2010 (UTC)

Непонятно зачем википедия, если для ответа на элементарный вопрос надо лезть в учебник? То что тут написано не сходится с учебниками?

В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение, т.е. нейтральный элемент обозначают «0» и называют его нулём.

--javalenok 10:13, 31 октября 2010 (UTC)

Вопрос бессмысленнен: в группе одна операция. Определение гарантирует наличие нейтрального элемента, а уж нулем Вы его обозначите или еще как - не суть важно.

forodirch 23:40, 20 апреля 2011 (UTC)

Обратный элемент

Я проверял соотношение $a^{-1}b^{-1}={(ab)}^{-1}$ походу оно не верно (я проверял её на конечной группе из шести элементов)

109.187.227.207 18:37, 2 ноября 2010 (UTC)

• ВП:Правьте смело (особенно если есть ВП:АИ) Fractaler 19:29, 2 ноября 2010 (UTC)
• А где оно в статье??? Естественно неверно, если только группа не абелева, где можно как угодно переставлять. И за примерами далеко ходить не надо, правила умножения матриц знаешь? Правильная формула такая: $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ - именно она в статье и написана. -- X7q 10:31, 3 ноября 2010 (UTC)

Спасибо огромное буду по внемательнее 92.245.49.91 12:24, 5 ноября 2010 (UTC)