Обсуждение:Позиционная система счисления

Данная статья тематически связана с другими, и обсуждается в комплексе на странице Обсуждение проекта:Математика/Булева логика.

↓

Пожалуйста, добавляйте новые темы снизу

Ставлю под сомнение

Ставлю под сомнение содержание некоторых предложений и разделов в статье (не статью в целом). Во-первых: даётся определение, что «Каждая позиционная система счисления определяется некоторым числом b (т. н. основание системы счисления) с |b| > 1». И тут же даётся ссылка на унарную систему счисления (b = 1). Во-вторых: следует как обосновать существование систем счисления с дробным основанием, так и исправить содержание раздела «Системы счисления с дробным основанием» - в том разделе на самом деле обсуждаются дробные числа, а не дробные основания систем счисления. Второй и дальнейшие абзацы особенно вызывают возмущение. Срочно переделать раздел! Дополняю. Раздел «Зависимость плотности записи информации от основания системы счисления» требует приведения авторитетных источников, или полной переписки. Там заявлена функция плотности ${\frac {\ln(b)}{b}}$ и в то же время заявлено, что наибольшей плотностью записи обладает система счисления с основанием e (что надо понимать как глобальный максимум функции), хотя простейший расчёт показывает, что экстремумов данная функция не имеет, а единственный "претендент" на экстремум - точка $b=0$ (но в этой точке функция не определена); так что максимальную плотность записи будет иметь (в приведённом в статье смысле слова "плотность") разве что "бесконечноичная" система счисления. Совершенно необходимо пояснить связь между "плотностью записи" (да и вообще дать хоть какое-то определение этому понятию) и "информационной энтропией", куда ведёт ссылка. Вообще, похоже на ОРИСС. Булат Ш. 02:13, 26 июня 2008 (UTC)

текст выше был зачёркнут 02:36, 26 июня 2008 (UTC) участником с IP 91.144.141.56. -- A^VB^talk 00:21, 19 апреля 2009 (UTC)

Прояснил оба вопроса. Maxal 17:44, 11 октября 2008 (UTC)

Необходимыми условиями существования экстремума функции являются существование первой производной и её равенство нулю. Первая производная функции $y(b)=ln(b)/b$ равна $dy/db=1/b^{2}-ln(b)/b^{2}$, т.е. существует. Приравняв её нулю $1/b^{2}-ln(b)/b^{2}=0$, $ln(b)/b^{2}=b^{2}$, $ln(b)=1$, получим $b=e=2,71...$.
Достаточными условиями существования локального максимума являются $f'_{+}(x_{0})<0$ и $f'_{-}(x_{0})>0$. Так как слева от точки x=e производная положительная, а справа отрицательная, то, в точке b=е=2,71... функция действительно имеет строгий локальный максимум. Андрей Куликов 10:57, 27 октября 2009 (UTC)

Ошибка в определении позиционных систем счисления

Очевидна ошибка в определении позиционных систем счисления. Если с b снять модуль, то в такое определение попадают и положительные позиционные системы счисления и отрицательные позиционные (нега-позиционные) системы счисления. Если с b снять ограничение b>1, т. е. b - любое действительное число, то в такое определение попадут и единичная (унарная) поместная (позиционная) система счисления и системы счисления с основаниями меньшими 1 (половинная поместная (позиционная) система счисления, третичная поместная (позиционная) система счисления, четвертичная поместная (позиционная) система счисления и др.). Теоретически очевидно, что b может быть и комплексным числом.92.243.166.4 20:27, 29 октября 2008 (UTC)

Единичный (унарный) способ (систему) счисления можно толковать как вырожденный поместный (позиционный) способ (систему) счисления с основанием равным единице (b=1) или поместные (позиционные) способы (системы) счисления можно толковать как приписные поместные (позиционные) способы-системы счисления по отношению к единичному способу (системе) счёта, в которых положению (месту, позиции) знака приписывается дополнительное значение (вес). При втором толковании единичная система счисления является основной. На мой взгляд такое (второе) толкование эволюционно более правильное.92.243.166.4 20:51, 29 октября 2008 (UTC)

Можно ли? Удалил упоминание об унарной системе из примеров. 94.41.64.232 20:51, 6 января 2013 (UTC)

Плотность записи

Плотность записи чисел

1. Описание по С.В.Фомину (подобное же описание приводится в работе А.Кушнерова со ссылкой на малоизвестную теорему Джона фон Неймана "о компактности систем счисления", но в этой работе на рис.1 приводится график для фиксированного n=8.)

$x\,$ - основание системы счисления (число знаков (цифр) в одном разряде, число устойчивых состояний триггера) ($b\,$)

$n=r\cdot x\,$ - число знаков (число элементов, число инверторов в одном триггере) (в трёхразрядном (трёхпозиционном) десятичном числе 30 знаков) (экономичность системы)

$r=n/x\,$ - число разрядов (число позиций, длина разрядной сетки, число разрядов регистра, число триггеров в регистре)

Число записываемых (представимых, представляемых) чисел $y(x)=x^{n/x}\,$, график функции с различными масштабами по осям x и y изображён на рис.4. (Функция не обобщена и зависит от числа знаков - n, поэтому приводится график для одного, фиксированного числа знаков - n, значение которого не приводится).

Необходимое условие того, что в данной точке $x_{0}\,$ функция y(x) достигает максимума, состоит в обращении в нуль её производной в этой точке. В данном случае производная этой функции равна $dy/dx=-n\cdot x^{n/x}\cdot ln(x)/x^{2}+(n/x)\cdot x^{n/x-1}=n\cdot x^{n/x-2}\cdot (1-ln(x))\,$.

Приравняв её нулю, получим, что ln(x)=1, т.е. x=e.

Так как слева от точки x=e производная dy/dx положительна, а справа отрицательна, то, в силу известных теорем дифференциального исчисления, в этой точке наша функция действительно имеет максимум.

Экономичность системы счисления - немаловажное обстоятельство с точки зрения её использования в вычислительной машине. Поэтому, хотя применение в вычислительной машине троичной системы вместо двоичной влечёт некоторые конструктивные трудности (при этом нужно пользоваться элементами, каждый из которых может находиться не в двух, а в трёх устойчивых состояниях), эта система уже была использована в некоторых реально существующих вычислительных устройствах.

2. Описание через информационную энтропию

При условии равновероятности появления каждой из цифр в записи числа информационная энтропия записи $n$-значного (в данном случае автор употребил слово $n$-значного в смысле $r$-разрядного, $r$-позиционного) числа в системе счисления с основанием $b$ принимает значение $n{\frac {\ln b}{b}}$ (с точностью до постоянного коэффициента). Поэтому плотность записи (то есть количество информации на одну позицию) чисел в системе счисления с основанием $b$ равна ${\frac {\ln(b)}{b}}$.

Плотность записи, как функция от $b$, принимает максимальное значение в точке при $b=e=2,718281828\ldots$.

Таким образом, наибольшей плотностью записи чисел (информации) обладает [[система счисления с нецелочисленным основанием $e$]]. Из систем счисления с целочисленными основаниями наибольшей плотностью записи чисел (информации) обладает троичная система счисления. Двоичная и четверичная системы счисления делят второе место. Остальные целочисленные системы счисления имеют меньшую плотность записи чисел (информации).

3. Более простое описание

$x\,$ - основание системы счисления (число знаков (цифр) в одном разряде, число устойчивых состояний триггера) ($b\,$)

$r=n/x\,$ - число разрядов (число позиций, длина разрядной сетки, число разрядов регистра, число триггеров в регистре)

$n=r\cdot x\,$ - число знаков (число элементов, число инверторов в одном триггере) (в трёхразрядном (трёхпозиционном) десятичном числе 30 знаков) (экономичность системы)

Число записывыемых (представимых, представляемых) чисел (кодов) $y(x)=x^{r}\,$

Натуральный логарифм числа представимых чисел (кодов) $ln(y)=r\cdot ln(x)\,$

Удельная натуральнологарифмическая плотность записи чисел $Y=ln(y)/n=ln(x)/x\,$[натуральный логарифм числа представимых чисел/элемент] наибольшая в точке экстремума, в которой первая производная равна нулю.

Первая производная от натуральнологарифмической плотности записи чисел $dY/dx=d(ln(x)\cdot 1/x)/dx=(1/x^{2}-ln(x)/x^{2})$ равна нулю в точке $x=e=2,71...\,$

Таким образом, наибольшей логарифмической плотностью записи чисел (кодов, информации) обладает система счисления с нецелочисленным основанием равным числу Эйлера - e=2,71... . Из систем счисления с целочисленными основаниями наибольшей плотностью записи чисел (кодов, информации) обладает троичная система счисления. Двоичная и четверичная системы счисления делят второе место. Остальные целочисленные системы счисления имеют меньшую плотность записи чисел (кодов, информации).92.243.182.100 11:44, 29 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 12:23, 29 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 12:36, 29 апреля 2009 (UTC) 92.243.182.100 12:36, 29 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 03:05, 30 апреля 2009 (UTC) 92.243.182.100 03:20, 30 апреля 2009 (UTC) 92.243.182.100 06:51, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 09:36, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 10:20, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 11:53, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 11:56, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 11:58, 30 апреля 2009 (UTC) 92.243.182.100 04:21, 5 мая 2009 (UTC) 92.243.182.100 13:10, 5 мая 2009 (UTC) 92.243.182.100 10:06, 7 мая 2009 (UTC)

Затраты числа знаков на запись чисел (аппаратные затраты)

1. По О.А.Акулову и Н.В.Медведеву (приведены обозначения по первоисточнику и общие обозначения):

$q,b,x\,$ - основание системы счисления (число знаков (цифр) в одном разряде, число устойчивых состояний триггера)

$n,r\,$ - число разрядов (число позиций, длина разрядной сетки, число разрядов регистра, число триггеров в регистре)

$C=q\cdot n,n=x\cdot r$ - число элементов (экономичность системы) (число знаков, число инверторов в одном триггере)

$A_{q}=q^{n},y(x)=x^{r}\,$ - число представляемых (записываемых, представимых) чисел

$A_{q}max=q^{n}-1,y(x)_{m}=x^{r}-1\,$ - наибольшее представляемое (записываемое, представимое) число

$n=log_{q}(A_{q}max+1),r=log_{x}(y(x)_{m}+1)\,$

$C=q\cdot log_{q}(A_{q}max+1),n=x\cdot log_{x}(y((x)_{m}+1)\,$

$F=q\cdot log_{q}(A_{q}max+1)/[2\cdot log_{2}(A_{2}max+1)],F=x\cdot log_{x}(y(x)_{m}+1)/[2\cdot log_{2}(y(2)_{m}+1)]$ - относительные аппаратные затраты (экономичность системы счисления) по Акулову и Медведеву

Минимальные относительные аппаратные затраты будут при $dF/dq=0\,$ при $x=q=e=2,71...\,$.

2. Более простое описание:

Аппаратные затраты являются функцией обратной функции натуральнологарифмической плотности записи чисел, поэтому, поделив 1 на функцию натуральнологарифмической плотности записи чисел получим более простое выражение функции натуральнологарифмических аппаратных затрат:

$Z=1/(ln(x)/x)=x/ln(x)\,$

92.243.182.100 14:15, 21 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 12:17, 29 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 03:25, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 03:39, 30 апреля 2009 (UTC) 92.243.182.100 06:49, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 06:52, 30 апреля 2009 (UTC) 92.243.182.100 06:53, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 06:56, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 09:39, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 10:24, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 11:54, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 12:00, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 12:01, 30 апреля 2009 (UTC) 92.243.182.100 04:11, 5 мая 2009 (UTC) 92.243.182.100 17:18, 17 мая 2009 (UTC)

Ссылки

92.243.182.100 18:01, 16 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 13:23, 23 апреля 2009 (UTC)

Прежде чем добавлять этот материал, нужно:

1. определить что такое "аппаратные затраты"
2. привести обозначения в соответствие с остальным текстом
3. не повторять одно и то же в нескольких секциях

Пока же я удаляю этот текст как неэкциклопедический и невписывающийся в контекст статьи. Maxal 21:51, 16 апреля 2009 (UTC)

1. О.А.Акулов и Н.В.Медведев не стали повторять выкладки малоизвестной, но известной А.Кушнерову, теоремы Джона фон Неймана о "компактности систем счисления" (по А.Кушнерову) ("количество записываемых чисел", "экономичность системы счисления" (по С.В.Фомину)) с функцией y(x)=x^(n/x), которая зависит от числа знаков (элементов, инверторов) - n и приводят вывод собственного определения функции "относительных аппаратных затрат", которое очень громоздко. На графике функция "относительных аппаратных затрат" О.А.Акулова и Н.В.Медведева выглядит как функция обратная функции "числа записываемых чисел" и "плотности записи". Чтобы из функции "числа представимых чисел" ("компактности систем счисления", "количества записываемых чисел") получить функцию "плотности записи чисел" её нужно разделить на число элементов (знаков, инверторов) - n, но она, в исходном виде, на n делится "плохо". Если от этой функции взять натуральный логарифм, то получится функция "натурального логарифма от числа записываемых чисел", которая хорошо делится на число элементов (знаков, инверторов) - n, при этом числа разрядов - r взаимно сокращаются и результирующая функция "натурально логарифмической плотности записи чисел" становится независимой от числа разрядов (позиций) - r, чего нет в теореме Джона фон Неймана. Кроме того, от этой функции производная берётся проще и выглядит проще. Так как функция "аппаратные затраты", введённая О.А.Акуловым и Н.В.Медведевым, на графике выглядит, как функция обратная функции "числа записываемых чисел" и функции "натуральнологарифмической плотности записи" и по смыслу является функцией обратной функции "плотности записи", то имеет смысл поделить 1 на функцию "натуральнологарифмической плотности записи" и в результате получить функцию "натуральнологарифмических аппаратных затрат" не зависящую от числа разрядов (позиций), как у Джона фон Неймана, имеющую более простой вид, чем функция "относительных аппаратных затрат" О.А.Акулова и Н.В.Медведева, от которой производная берётся проще и выглядит проще.

2. Вероятно, что нужно привести и авторские обозначения и обозначения приведённые в соответствие с остальным текстом.

3. Из-за разницы в авторских обозначениях это сделать невозможно.92.243.182.100 10:35, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 10:35, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 11:38, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 11:47, 30 апреля 2009 (UTC)

"простая запись" и "сложная запись"

Андрею Куликову:

• Во-первых, что это за "простая запись" и "сложная запись" - у нас ведь не детский сад? Это неэнциклопедический стиль, к тому же просто пересказывание одного и того чуть разными словами.
• Во-вторых, во фразе

Рациональное число x в b-ричной системе счисления представляется в виде линейной комбинации (вообще говоря, бесконечной) степеней числа b:

говорится, что рациональное число представляется в виде бесконечной линейной комбинации, но вы приводите конечную комбинацию.

• В-третьих, указание основания системы счисления в качестве индекса имеет смысл только если это иначе непонятно. Когда про запись явно говорится, что это b-ричная запись, указывать b излишне и только усложняет написанное. Maxal 14:29, 15 октября 2009 (UTC)

Maxal'у:

• 1. Запись с одной суммой проще записи с двумя суммами, проще - значит простая. Используется в:
  

1. Позиционные системы счисления. Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую. Арифметические операции с числами в позиционных системах счисления // Введение в информатику. Лабораторные работы / Авт.-сост. А.П. Шестаков. — Пермь: Перм. ун-т., 1999.

2. Шауцукова Л.З. Информатика 10-11.—М.:Просвещение, 2000 г. Книга 1. Теория. Глава 4. Раздел 4.1. Что такое система счисления?

• 2. При $m=\infty$ число членов суммы бесконечно.
• 3. Читатели часто смотрят, как в справочнике, только формулы, поэтому кроме указания основания системы счисления в описании нужно указывать основание системы счисления и в формулах. Андрей Куликов 15:46, 15 октября 2009 (UTC)

1. В разных книжках одни и те же формулы могут быть написаны по-разному с разной степенью грамотности. И переписывать их все в википедию не имеет смысла. Вместо этого статьи здесь должны содержать грамотную квинтэссенцию материалов из других источников. Как профессиональный математик, я утверждаю, что добавленная вами формула как минимум математически безграмотна. Кроме того, даже если ее исправить, она не привносит ничего нового по сравнению с тем, что там было написано раньше.
2. $m=\infty$ здесь не работает, так как цифра $a_{-\infty }$ неопределена.
3. Это чистой воды спекуляции. Формулы и текст здесь составляют единое целое. Если кто-то пытается использовать ту или иную формулу вне контекста - это лично его проблемы. А замусоривание статей чрезмерными и излишними уточнениями ведёт только к ухудшению читабельности. Maxal 16:44, 15 октября 2009 (UTC)

• 1. Очевидно, что уровень грамотности формул с одной суммой выше уровня грамотности формул с необоснованным, по недоумению, использованием двух сумм ("Не устоит царствие, которое раздвоилось в самом себе" - И.Христос). Ваше утверждение ложно. Непонимание этого Вами и Ваше ложное утверждение приводят к выводу о необоснованно завышенной самооценке уровня своей грамотности и необоснованно заниженных оценках уровней грамотности других.
• 2. Разряд $a_{-\infty }$ работает точно также, как и разряд $c_{\infty }$. Ваше высказывание ложно.
• 3. Очевидно, что текст и формулы - две разные составляющие статьи. Очевидно, что уточнения улучшают читабельность. Ваши высказывания ложные. Андрей Куликов 19:14, 15 октября 2009 (UTC)

1. Замечание про "уровень грамотности" относилось не к тому, записана ли формула в виде двух сумм или одной, а к тому, что здесь нельзя мешать в кучу случаи конечной и бесконечной записи. И моя самооценка тут совершенно не при чем. Говоря "профессиональный математик", я имел в виду наличие учёной степени в данной конкретной науке.
2. Ну и чему же равна цифра $a_{-\infty }$ в десятичной записи, например, числа 1/7 ?
3. Вы считаете, что многократное использование фраз "очевидно" и "Ваши высказывания ложные" придает больший вес вашим аргументам?

Maxal 12:07, 16 октября 2009 (UTC)

1. Односуммная запись описывает три случая:1. при m=0 - целые, 2. при m=m - рациональные дроби и 3. при $m=\infty$ - иррациональные дроби с бесконечным числом разрядов дробной части. При двухсуммной записи все три случая нужно описывать отдельными формулами, что делает двухсуммную запись менее удобной, чем односуммная запись.
2. $a_{-\infty }=c_{\infty }$.
3. Ложные высказывания придают меньший вес аргументам независимо от принадлежности, мои ли, Ваши ли, третьей стороны ли. Андрей Куликов 16:00, 19 октября 2009 (UTC) Что очевидно одним, может быть неочевидно другим, смотреть - смотрят, а видеть - не видят, поэтому, иногда, в таких случаях, нужны более подробные описания. Андрей Куликов 16:10, 19 октября 2009 (UTC)

Удобно или неудобно - это дело вкуса, но всякая формула должна быть прежде всего безукоризненна математически. Нельзя писать $a_{-m}$ и потом рассуждать про случай $m=\infty$, потому что нет такой цифры $a_{-\infty }$. Посмотрите на текущую версию статьи - там нет никакой цифры $c_{\infty }$, которой якобы равна ваша $a_{-\infty }$.

Бездоказательные обвинения во лжи не имеют никакого смысла. И домыслы тоже. Какой должна быть энциклопедическая статья - см. ВП:ПУ. Maxal 21:25, 19 октября 2009 (UTC)

Подраздел "Запись рациональных чисел", в первой формуле во второй сумме $\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}b^{-k}$ при $k=\infty$ описывается $c_{\infty }=a_{-\infty }$, по этой части записи одинаковые, но односуммная запись короче и универсальнее. Перед каждым высказыванием о лжи стоит краткое доказательство. Андрей Куликов 06:48, 20 октября 2009 (UTC)

Вам следует подучить азы математики прежде чем бросаться словами "ложь" и т.п. $\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}b^{-k}$ - это математическая запись для cуммы ряда, то есть предела последовательности частичных сумм:

$c_{1}b^{-1},\quad c_{1}b^{-1}+c_{2}b^{-2},\quad c_{1}b^{-1}+c_{2}b^{-2}+c_{3}b^{-3},\quad \dots$

И здесь нет никакого $c_{\infty }$. Maxal 14:14, 20 октября 2009 (UTC)

$\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}b^{-k}$ - это сокращённая математическая запись функции (оператора) сложения $\sum _{k=0}^{k=\infty }c_{k}b^{-k}$ произведений $\ c_{k}b^{-k}$, в которой (котором), для краткости, верхнее "k=" не набирают, но, по правилам оператора суммы, можно записать любой член ряда, в том числе и бесконечный член. Общий член ряда, при $k=\infty$, имеет вид - $c_{\infty }b^{-\infty }$ и существует всегда, даже, если сумма ряда не существует. Сумма ряда является частным случаем ряда и существует только, если ряд сходится, т.е. только, если существует предел последовательности частичных сумм. «Расходящийся ряд не имеет суммы» - Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике (12-е изд.). М.: Наука, 1977 (djvu)(стр.534), т.е. ряд и все его члены, в том числе и бесконечный член, есть, а суммы ряда нет. Андрей Куликов 19:17, 20 октября 2009 (UTC)

Фраза «по правилам оператора суммы, можно записать любой член ряда, в том числе и бесконечный член. Общий член ряда, при $k=\infty$, имеет вид - $c_{\infty }b^{-\infty }$ и существует всегда, даже, если сумма ряда не существует» прекрасно демонстрирует уровень вашего невежества. И чтение справочников вам не поможет, пока вы не будете осмысливать прочтённое. Maxal 20:56, 20 октября 2009 (UTC)

Имеет ли смысл выражение $c_{\infty }$? Никогда такого не встречал. Думается, что не имеет, ибо, в противном случае, чему оно равно? --Bopsulai 09:21, 21 октября 2009 (UTC) И могу я узнать, что такое бесконечный член ряда и как натуральное число $k$ может равняться $\infty$? --Bopsulai 22:23, 22 октября 2009 (UTC)

Аппаратные затраты

Кстати, п.1 справедлив также и для раздела "Аппаратных затрат", который вы так и не удосужились привести к "единому знаменателю". В результате он представляет собой свалку как бы разрозненных фактов, которые на самом деле описывают одно и то же явление. Maxal 16:50, 15 октября 2009 (UTC)

П. 1. ответа справедлив также и для раздела "Аппаратных затрат". Не приводимое к "единому знаменателю" к "единому знаменателю" не приводится. Ваша оценка - Ваша личная точка зрения, которая часто не совпадает с действительностью. Андрей Куликов 19:14, 15 октября 2009 (UTC)

Во-первых, воздержитесь от личностных "наездов" и обобщений. Во-вторых, привести "единому знаменателю" и написать обобщающий энциклопедический текст можно - было бы желание. Начните хотя бы с того, что дайте определение Аппаратным затратам в общепринятых терминах и объясните, почему это все-таки "затраты", а не "выгоды", например. Пока же добавляемый вами текст больше похож на справочник разрозненных фактов чем на связную энциклопедическую статью. Maxal 12:07, 16 октября 2009 (UTC)

Название "Аппаратные затраты" использовали О.А.Акулов и Н.В.Медведев из МВТУ в своём учебнике информатики, в котором приводится график аппаратных затрат с минимумом при x=e=2,71.... "Выгоде" соответствует график с максимумом при x=e=2,71..., который приводится в книжке С.В.Фомина из МГУ, в статье А.Кушнерова и в других работах. Максимальная "выгода" при минимальных "аппаратных затратах". Андрей Куликов 12:15, 20 октября 2009 (UTC)

Это не ответ на мой вопрос. Я вас попросил дать определение термина "аппаратные затраты" (в частности, почему именно "аппаратные" и почему "затраты"), а вы вместо этого начали перечислять, где этот термин используется. Наличие источников, не освобождает от необходимости написания связного и самодостаточного текста. Maxal 14:19, 20 октября 2009 (UTC)

Потенциальная война правок

Поскольку правки участника встретили какие-то возражения у участника Maxal, я пока откатил вернул старую версию и предлагаю участникам обсудить дальнейшие правки. Любые правки, которые будут внесены в эту статью без предварительного согласования друг с другом, в конечном итоге будут пресечены блокировкой. — Claymore 11:46, 16 октября 2009 (UTC)

Пример на сложение

В главе Свойства пример на сложение какой-то странный. Во-первых, для систем с основанием <7 он попросту неверен, во-вторых, нигде не присутствует перенос единицы в соседний разряд. Вообще, нужен ли этот пример в статье? Если да, то тогда нужно давать примеры и на умножение, вычитание, деление, деление с остатком и т.п. --Bopsulai 21:34, 23 октября 2009 (UTC)

Полностью согласен с замечанием. Пример бесполезный и неточный. Возметесь удалить и/или исправить? Maxal 23:23, 23 октября 2009 (UTC)

Как-то так, хотя тоже не идеально.--Bopsulai 04:30, 24 октября 2009 (UTC)

Структура статьи

Напоминаю (особенно Андрею Куликову), что согласно ВП:ПУ, изложение фактов в статье должно идти от простого к сложному, в порядке важности и известности. Под позиционными системами счисления обычно понимаются b-ричные системы счисления, где b — натуральное число. Запись чисел при этом изначально определяется для неотрицательных целых чисел, и потом уже расширяется до отрицательных, b-ричных (периодических) дробей, иррациональных чисел. Именно в таком порядке это и представлено в статье. Системы счисления с отрицательными основаниями, нецелыми основаниями, несколькими основаниями и т.д. являются обобщениями общепринятого понятия и изучаются лишь в специальной литературе. Поэтому их упоминание в данной статье возможно лишь в разделе обобщений, подробное же описание должно идти в отдельных тематических статьях. Не нужно пытаться определять обычные позиционные системы счисления с точки зрения этих специальных обобщений, навешивая ярлыки такие как одинарная, показательная, целочисленная, что она определяется двумя равными основаниями и т.д. Таким подробностям самое место в специальных тематических статьях (типа комбинированная система счисления), где они ни у кого не вызовут нареканий. Maxal 13:55, 24 октября 2009 (UTC)

А я хотел бы добавить (соглашаясь с вышесказанным), что главы Плотность записи чисел и Число знаков на запись чисел, если и нужны вообще здесь, то лишь в конце статьи, а никак не перед простейшими свойствами и переходом в другие системы. Мне кажется, что здесь они не очень уместны, скорее это тема для новой статьи. --Bopsulai 16:31, 24 октября 2009 (UTC)

Согласен. Эти свойства имеют смысл только в изучении систем счисления в приложении к цифровым устройствам. Наверное, стоит создать раздел типа Использование в цифровых устройствах (ближе к концу статьи), и в нём уже обсуждать какие системы счисления лучше и почему и, в частности, что такое аппаратные затраты (нормального определения этого понятия в статье до сих пор не дано) и как они связаны с плотностью записи чисел в той или иной системе счисления. Maxal 17:04, 24 октября 2009 (UTC)

Если факты излагаются в порядке уменьшения важности и статья про частный случай, значит в обобщениях надо заново дать определения и объяснения. А то там пока только упоминания.

Например, для рациональных оснований можно пояснить так:

1. Позиционной называется система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции.
2. Значение цифры определяется произведением её собственного веса на вес разряда, в котором она находится.
3. Вес разряда определяется произведением коэффициента, называемого основанием, предыдущего (меньшего) разряда на его вес. Вес нулевого разряда равен 1.
4. Если все разряды имеют одинаковое основание, система называется однородной, а основание называют основанием системы.
5. Основание системы является знаменателем геометрической прогрессии веса разрядов.
6. Цифры в разряде принадлежат диапазону идущих подряд целых значений, включающему ноль.
7. В случае, если в системе ноль находится в центре такого диапазона, систему называют симметричной.
8. Необходимое количество цифр (размер диапазона), используемых в разряде, определяется как максимум из округлённых до целого в большую сторону модулей основания и обратного ему числа.
9. Если количество используемых цифр превышает необходимое, говорят, что разряд обладает избыточностью.

На мой взгляд, это просто и понятно.

Отсюда можно сделать вывод, что основание не обязано быть целым и превышать 1. В позиционной системе основание разряда (и системы) не может равняться 0 или 1, но может быть дробным, меньше 1, отрицательным и т.д.

Количество цифр находится в зависимости от основания разряда, а не равняется ему.

Ноль не обязан быть младшей цифрой. А значит, старшая цифра не определяется как основание минус 1.

Вес разряда не всегда можно определить возведением основания в степень, а только в однородных системах.

Сравнивать поразрядно 2 числа в одной системе надо не со старшего разряда, а с разряда с максимальным весом. Если модуль основания меньше 1, максимальный вес будет у младшего разряда. --Alex B. Fox 12:29, 17 апреля 2017 (UTC)

Запись рациональных чисел

Объясняю (особенно Maxal'у).
1. В формулах (2) и (3) индексы дробной части имеют положительную нумерацию: c₁, c₂, и т.д., поэтому у цифр c_m должны быть положительные номера m или нумерация цифр дробной части должна быть заменена на отрицательную: c_-1, c_-2, ..., c_-m.
2. Во многих учебниках и учебных пособиях
(Стр.36) применяется более простая запись с обозначением цифр и целой части числа и дробной части числа одной буквой и более простая запись в виде одной суммы:

$x_{a,b}=(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{a,b}=\sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}b^{k}$, где

n - число разрядов целой части числа,
m - число разрядов дробной части числа, при $m=\infty$ дробная часть бесконечна, при m=0 число целое,
k - номер разряда,
a - множество, из которого берутся a_k, основание внутриразрядной системы счисления,
a_k - разряды целой и дробной частей числа,
b - основание межразрядной системы счисления,
3. В учебном пособии применяется несколько иное определение записи чисел в позиционной системе счисления:

Изображение чисел в любой позиционной системе счисления с натуральным основанием R (R>1) базируется на представлении их в виде произведения целочисленной степени m основания R на полином от этого основания:

$A_{r}=R^{m}*\sum _{i=1}^{n}(a[i]*R^{(-i)}),$ где:

a[i] {0,1,...,R-1} - цифры R-ичной системы счисления;
n - количество разрядов (разрядность), используемых для представления числа;
R - основание системы счисления;
m {...,-2,-1,0,+1,+2,...} - порядок числа;
R^(-i) - позиционный вес i-того разряда числа.

Ответ Адрею Куликову

(кстати, не забывайте подписываться)

1) Это не существенно. Хотите заменить на отрицательную нумерацию - пожалуйста, хотите записать одной суммой - тоже, но с учётом п. 2 ниже. И представление должно быть одно (то или иное). Не нужно никаких "простых" и "сложных записей".

2) По поводу формулы:

$x_{a,b}=(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{a,b}=\sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}b^{k}$

есть несколько замечаний:

2.1) Самое главное: если мы явно выписываем последний член $a_{-m}$, то это означает, что запись конечна. А именно она состоит из m цифр после запятой. При этом фраза «при $m=\infty$ дробная часть бесконечна» математически безграмотна. Нет такой цифры $a_{-\infty }$ (в чем легко убедиться хотя бы на примере дроби 1/7 = 0.142857142857… - попытайтесь ответить на вопрос, чему здесь равна $a_{-\infty }$). Грамотная запись бесконечной дроби должна быть без указания последнего члена (которого собственно и не может быть в бесконечной записи):

$a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots =\sum _{k=-\infty }^{n-1}a_{k}b^{k}$

2.2) По поводу индексов: у x их вообще не должно быть - так как это число, и оно не зависит от системы счисления. Например, число пять существует внезависимости от используемой системы счисления, а вот его записи "5" (в десятичной) или "101" (в двоичной) уже зависят от системы счисления. Таким образом, от системы счисления зависит только запись числа x, но не само x. Далее, в данном случае у нас есть только основание b и нет никакого a, поэтому и индекс должен быть только b. Резюмируя, обсуждаемая формула должна выглядеть в конечном случае так:

$x=(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{b}=\sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}b^{k}$

а в бесконечном - так:

$x=(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots )_{b}=\sum _{k=-\infty }^{n-1}a_{k}b^{k}$

3) По поводу источников - я вам уже писал выше. Повторюсь:

В разных книжках одни и те же формулы могут быть написаны по-разному с разной степенью грамотности. И переписывать их все в википедию не имеет смысла. Вместо этого статьи здесь должны содержать грамотную квинтэссенцию материалов из других источников.

Указанная запись формулы по существу ничем не отличается присутствующей в статье (кроме переобозначений и вынесений некоторого множителя за знак суммы) и отнюдь не удовлетворяет критериям значимости для отдельного упоминания.

И вообще, далеко не каждый web-ресурс или методичка является ВП:АИ, поэтому не следует бездумно переписывать формулы оттуда.

Maxal 15:26, 27 октября 2009 (UTC)

• Коллеги, запись $\sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}b^{k}$ при $m=\infty$ у меня вызывает сильные сомнения. Какой первый член этой суммы? $a_{-\infty }b^{-\infty }$? Эта запись не имеет смысла. Нужно вводить понятие подобного суммирования задом наперёд, показывать его корректность и т. д. (например, что будет, если верхний предел тоже будет бесконечным и т.п.), причём не самим это делать, а искать на это АИ. (Кстати, ни в одной из вышеприведённых ссылок я подобного суммирования не нашёл.) Почему бы не сделать двух сумм: конечной для целой части и бесконечной для дробной? Это гораздо более понятно и не вызывает подобных вопросов. --Bopsulai 17:35, 27 октября 2009 (UTC)

В принципе нижний предел, равный $-\infty$, возможен - они используются, например, в рядах Лорана. Но вот насчет уместности и необходимости его использования в данной статье у меня тоже сомнения. Я также считаю, что запись в виде двух сумм более наглядной и ничуть не сложнее записи в виде одной суммы, так настойчиво предлагаемой Андреем Куликовым. Maxal 18:20, 27 октября 2009 (UTC)

Насколько я помню, прежде чем вводить такую запись в рядах Лорана, нам сначала как раз давали чёткое определение такой записи (о чём я и говорил выше). Здесь же вопрос всё же более элементарный и, на мой взгляд, должен быть доступен сообразительному школьнику. Как раз, по-моему, вариант с двумя суммами гораздо проще, поскольку сразу видно, где целая часть, где дробная. Зачем искусственно усложнять статью? Если уж так хочется, можно в замечании показать, что формула может быть короче (но не проще!). --Bopsulai 20:42, 27 октября 2009 (UTC)

устройство, имеющее нецелочисленное число устойчивых состояний

Цитата из текущей версии статьи: "Так как построить устройство (триггер) имеющее нецелочисленное число устойчивых состояний равное е=2,71…, в настоящее время затруднительно..." "В настоящее время" и "затруднительно" подразумевают, что в принципе это все-таки возможно, хотя и сложно. Но позвольте, как это вообще может такое быть, "нецелочисленное число устойчивых состояний"? Полтора земплекопа и то гораздо легче представить. --Ye-thorn 10:50, 17 мая 2010 (UTC)

ВП:Правьте смело. Maxal 18:32, 18 мая 2010 (UTC)

Число представимых чисел

Выношу из статьи до приведение к стандартам википедии — необходимо привести ВП:АИ, убрать излишние технические детали и поправить стиль изложения. Maxal 12:35, 27 августа 2010 (UTC)

У меня большие сомнения в целесообразности присутствия этой главы в статье. Без нее статья стала гораздо удобочитаемее. Может, это выделить в отдельную статью? --Bopsulai 15:51, 27 августа 2010 (UTC)

• Я тоже считаю, что это как минимум ненужное словоблудие, разведенное на пустом месте. Но, к счастью, об этом можно не беспокоится, пока не будет предоставлено нормальных АИ (а их, судя по всему, попросту не существует). Maxal 17:43, 27 августа 2010 (UTC)

Число представимых чисел

Зависимость удельного натуральнологарифмического числа представимых чисел от основания a позиционной системы счисления.

Описание по С. В. Фомину

Подобное же описание приводится в работе А.Кушнерова со ссылкой на малоизвестную теорему Джона фон Неймана 1946 г. «о компактности систем счисления».

$\ a={\tfrac {z}{n}}$ — внутриразрядное число цифр, (число знаков (цифр) в одном разряде, число устойчивых состояний триггера)

$z=n\cdot a$ — число (затраты) знаков на n разрядов в a-ичной системе, (число элементов (инверторов) в одном триггере) (в трёхразрядном (трёхпозиционном) десятичном числе z=3*10=30 знаков), отражает экономичность системы )

$n={\tfrac {z}{a}}$ — число разрядов (число позиций, длина разрядной сетки, число разрядов регистра, число триггеров в регистре)

Три величины, $\ n$, $\ z$ и $\ a$, взаимосвязаны {{subst:АИ}между собой простым соотношением: число разрядов необходимое для записи числа — $\ n$ прямо пропорционально числу знаков (числу инверторов) — $\ z$ и обратнопропорционально основанию системы счисления — $\ a$.

Число представляемых чисел выражается функцией $\ y(a)=a^{z/a}$, а удельное натуральнологарифмическое число представимых чисел — функцией $\ Y(a)={\frac {\ln y(a)}{a}}={\frac {\ln a}{a}}.$ Эти функции достигают максимума в точке $\ a=e$.

Таким образом, наибольшим числом представимых чисел обладает система счисления с нецелочисленным основанием равным числу e. Из систем счисления с целочисленными основаниями наибольшее число представимых чисел имеет троичная система счисления. Двоичная и четверичная системы счисления делят второе место. Остальные целочисленные системы счисления имеют меньшие числа представимых чисел.

Как можно увидеть на графике, переход в вычислительной технике от десятичной системы счисления (0,23) к двоичной (0,347) и четверичной (0,347) был бо́лее значимым ^{в чем?} (0,347-0,23=0,117 (50,9 %)), чем переход от двоичной системы счисления к троичной системе счисления (0,366) (0,366-0,347=0,019 (5,48 %)). Переход от троичной системы счисления к е-ричной системе счисления с основанием равным числу е (0,368) ещё менее значим (0,368-0,366=0,002 (0,546 %)).

Так как построить устройство (триггер) имеющее нецелочисленное число устойчивых состояний равное е=2,71…, в настоящее время затруднительно, то из целочисленных эвм наибольшее удельное натуральнологарифмическое число представимых чисел (кодов) имеют троичные эвм.

На целочисленных эвм возможно применение комбинированных (a, b,с)-ичных систем счисления , в которых для обозначения цифр разрядов применяются целые двоичные, троичные, …, десятичные и др. числа с весовыми коэффициентами (весами) равными e/c, где c — число цифр в одном разряде, а основание весовой показательной функции равно b=е=2,71….

Число знаков на запись чисел (аппаратные затраты)

1. По О. А. Акулову и Н. В. Медведеву (приведены обозначения по первоисточнику и общие обозначения):

$\ q=a$ — основание системы счисления (число знаков (цифр) в одном разряде, число устойчивых состояний триггера)

$\ n$ — число разрядов (число позиций, длина разрядной сетки, число разрядов регистра, число триггеров в регистре)

$\ C=q\cdot n,z=a\cdot n$ — число элементов (число знаков, число инверторов в одном триггере)

$\ A_{q}=q^{n},y(a)=a^{n}$ — число представляемых (записываемых, представимых) чисел

$\ A_{qmax}=q^{n}-1,y(a)_{max}=a^{n}-1$ — наибольшее представляемое (записываемое, представимое) число

$\ n=log_{q}(A_{qmax}+1),n=log_{a}(y(a)_{max}+1)$

$\ C=q\cdot log_{q}(A_{qmax}+1),z=a\cdot log_{a}(y(a)_{max}+1)$

$F=q\cdot log_{q}(A_{qmax}+1)/[2\cdot log_{2}(A_{2max}+1)],F=a\cdot log_{a}(y(a)_{max}+1)/[2\cdot log_{2}(y(2)_{max}+1)]$ — относительные аппаратные затраты (экономичность системы счисления) по Акулову и Медведеву

Минимальные относительные аппаратные затраты будут при $\ dF/dq=dF/da=0$ при $\ q=a=e=2,71...$.

2. Более простое описание:

Аппаратные затраты являются функцией обратной функции удельного натуральнологарифмического числа представимых чисел, поэтому, поделив 1 на функцию удельного натуральнологарифмического числа представимых чисел получим более простое выражение функции удельных натуральнологарифмических аппаратных затрат:

$\ f(a)=1/(ln(a)/a)=a/ln(a)$.

Е-ричная система счисления

е-ричная система счисления — позиционная система счисления с основанием b=2,71…=е, равным числу Эйлера. По теореме Джона фон Неймана о позиционных системах счисления имеет наибольшую удельную плотность записи и наибольшую экономичность по затратам знаков (аппаратным затратам). Такая система счисления называется натуральной, а её разряд называется нат.

$x=(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{e}=\sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}e^{k}$.

Так как работа с нецелым числом знаков в разряде практически неосуществима, для вычислений в е-ричной системе счисления на ЭВМ приходится использовать комбинированные системы счисления.

Предмет статьи

«Ребята, давайте жить дружно!» ©

А почему такая страшная статья? Почему такое смешение? Тут и фрагменты программного кода, и много ещё чего? --OZH 17:56, 27 августа 2010 (UTC)

• Программный код можно смело выкинуть, все-таки не тут не программистский форум. Maxal 18:01, 27 августа 2010 (UTC)
  • Мне не нравится, что большую часть статьи занимает перевод из одной системы счисления в другую. Это предмет отдельной статьи. Ещё мне кажется, что следует упомянуть о римских цифрах, поскольку принцип позиционности присутствует. А вот системы счисления с нецелым основание обладают особым интересом. --OZH 18:17, 27 августа 2010 (UTC)
    • Про перевод из одной системы в другую — согласен. Римские цифры упомянуты в статье система счисления и их традиционно не относят к позиционным системам. Про системы с нецелыми основаниями нужны АИ, пока все что было попахивает ориссом. Maxal 16:36, 28 августа 2010 (UTC)
  • Есть ещё соответствующий вики-учебник и указанный там источник. --OZH 18:26, 27 августа 2010 (UTC)

Позиционные системы счисления комплексных чисел

В таких системах основаниями могут быть мнимые [1] и комплексные [2] числа. Итак, в более общем виде число Z (действительное положительное, действительное с любым знаком, комплексное) в позиционной системе счисления представляется в виде разложения

$Z=\sum _{m}^{}r_{m}\rho ^{m},$ где

m - номер разряда, целое положительное или отрицательное число (в т.ч. ноль),
$\rho$ - основание кодирования, число (действительное или комплексное),
r - разряд разложения, число, принимающее значения из ограниченного множества

$A_{R}=(a_{0},a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{R-1})$, содержащего R различных величин

Позиционный код числа Z, соответствующий этому разложению, имеет вид

$K(Z)=\dots \sigma _{m}\dots$,

где $\sigma _{m}$ - цифра, обозначающая число $r_{m}$. Для того, чтобы указанное разложение являлось позиционной системой счисления, оно должно удовлетворять некоторым условиям, которые позволяют выполнять арифметические операции с соответствующими позиционными кодами. В частности, существуют двоичные системы счисления комплексных чисел с цифрами 0, 1 [3, 4, 5].

--Solikkh 11:04, 22 апреля 2011 (UTC) 

1. Knuth D.E., An Imaginary Number System, Communication of the ACM-3, 1960, № 4.
2. Хмельник С.И., Специализированная ЦВМ для операций с комплексными числами. Вопросы радиоэлектроники, серия XII, выпуск 2, 1964 (поступила в редакцию в марте 1962) – см. также здесь
3. Поспелов Д. А., Арифметические основы вычислительных машин дискретного действия, изд. "Высшая школа", 1970.
4. Хмельник С.И. Кодирование комплексных чисел и векторов, изд. «Mathematics in Computers», Израиль, 2004, ISBN 978-0-557-74692-7 – см. также здесь.
5. Хмельник С.И. Позиционное кодирование комплексных чисел и векторов. «Доклады независимых авторов», изд. «DNA», Россия-Израиль, 2006, выпуск 4, стр. 6-31. Напечатано в США, Lulu Inc., ID 322884, ISBN 978-1-4303-0460-9 - см. также здесь и здесь.
--Solikkh 18:16, 17 апреля 2011 (UTC)

• Ну и добавьте в Обобщения подсекцию "Комплексные основания"... Maxal 07:39, 18 апреля 2011 (UTC)
• Я бы добавил, да не знаю как (молодой ищо!) --Solikkh 11:35, 18 апреля 2011 (UTC) Может быть, кто-нибудь подскажет!? --Solikkh 11:17, 22 апреля 2011 (UTC) Повзрослел и вставил! --Solikkh 13:52, 22 апреля 2011 (UTC)

• • Осталось причесать все это: привести обозначения и терминологию в соответствие с остальной статьей; убрать информацию, дублирующую уже приведенную в статье; оформить ссылки и сноски подобающим образом; ... Я немного причесал для примера шапку нового раздела и оформил две сноски. Maxal 06:50, 23 апреля 2011 (UTC)
    • Спасибо! Попробую...
    • Воспользоваться обозначениями из раздела "Определение" затруднительно, поскольку им приданы определенный смысл и значения. Кроме того, они вызывают споры в обсуждении. Поэтому я частично восстановил начальный кусок с обозначениями, который вы выбросили. --Solikkh 12:04, 23 апреля 2011 (UTC)
      • Никаких проблем нет. И споров собственно тоже. Дублируемую информацию выкинул, обозначения/терминолония подправил. Теперь все вписывается в общий контекст. Maxal 15:06, 23 апреля 2011 (UTC)
        • Спасибо за помощь. --Solikkh 17:21, 23 апреля 2011 (UTC)

Вот бы туда ещё примеры записи различных чисел бы... с их привычным десятичным представлением! --Nashev 17:24, 8 апреля 2013 (UTC)