Обсуждение:Совершенное число

Вынесено из текста статьи, как неэнциклопедический текст

Добавления от ed1936@mail.ru. Чётное совершенное число можно представить как число сочетаний из n по 2, т.е n*(n-1)/2, где n=2 в степени k (k=2,3,5,7,13,17 и т.д). Похоже, что k - простое число (проверил для первых 30 совершенных чисел), но условие " k - простое число " является только необходимым, но не достаточным (например k=11 не проходит). Приведенное сочетание показывает, что чётное совершенное число является суммой чисел натурального ряда от 1 до n-1 (арифметическая прогрессия). Кроме того, - позволяет ввести геометрическую интерпретацию совершенного числа. Пусть мы имеем некоторую многомерную фигуру, состоящую из n вершин и рёбер, их соединяющих. Так как каждое ребро соединяет 2 вершины, то общее количество рёбер будет равно сочетанию из n по 2. Значит совершенное число должно соответствовать количеству рёбер некоторой фигуры.

---

Гипотеза. Если каждое новое измерение в многомерном пространстве описывать в виде некоего отображения (перемещения) предыдущего, то количество вершин будет удваиваться (например: отрезок, квадрат, куб и т.д.). Пространство реально, если число основополагающих рёбер при таком отображении равно совершенному числу (для отрезка - 1, квадрата - 6, куба - 28). Следующим после трёхмерного идёт четырёхмерное пространство. Количество основополагающих рёбер для него - 120, а сумма множителей числа 120 равно 240 (1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60). Ровно в два раза больше. Это наводит на следующие размышления. Известно, что 4 - число смерти. Возможно, что мир с четырьмя измерениями является миром мёртвых и состоит, как бы, из двух половинок, опирающихся на свои 120 рёбер (это - рай и ад).

---

Хотелось бы выступить в защиту вынесенного из текста фрагмента. Существует немало исследований (особенно у непрофессионалов), которые не тянут на открытия и ,возможно, по этому нигде не опубликованы, но интересны своим оригинальным подходом или решением. К сожалению, иногда делаешь "открытие", а потом оказывается, что его уже без тебя сделали Евклид или Эйлер.

Безусловно интересны гипотезы. Кстати, хотелось бы узнать, есть ли доказательство того, что число k, указанное в фрагменте является простым? Tigred.

---

Ответ для Tigred. Да, доказано, что число k, указанное в фрагменте является простым. Более того, если бы это было не так, то мы бы (человечество) не продвинулись бы так далеко в поисках совершенных чисел (сейчас их уже найдено 44). Никто же не разлагает числа на множители, чтобы проверить совершенные ли они. Просто берётся ряд простых чисел (k) и ищется для них число Мерсенна (как нетрудно заметить, второй множитель в приведенном сочетании и является числом Мерсенна). Если 2^k-1 тоже окажется простым числом, то сочетание укажет на совершенное число.

---

Ответ для ED1936. Подскажу как проделать элементарные выкладки, чтобы доказать, что число k должно быть также простым, если соответствующее ему число Мерсенна является простым.

Если k - чётное, то число Мерсенна раскладывается на множители как разность квадратов. Если - нечётное, то докажите по индукции. Воспользуйтесь леммой. Число a^k - b^k без остатка делится на a - b. Воспользуйтесь биномом Ньютона для (a - b)^k. Для нечётного k группируем пары (выносим за скобки общие множители) от самых крайних (это a^k - b^k) до средних членов разложения (все они по индукции, кроие крайних, делятся на a - b). В нашем случае b равно единице. Если a - не двойка, то число a^k - 1 не может быть простым, так как делится на a - 1. Если k = m*n, то 2^k = (2^m)^n = (2^n)^m. Например: 2^6 = 4^3 = 8^2. Соответственно, 2^6 - 1 делится на 4 - 1 и 8 - 1. Т.е. 2^k - 1 делится на 2^m - 1 и 2^n - 1.

----

Интересно, какие ещё существуют поверия относительно совершенных чисел, актуальные и сейчас? Я,например, слышал, что жену надо себе выбирать на 6 лет старше своего половинного возраста? Случайно у меня так и получилось. Я женился в 28 лет (знакомое число), а жену взял 20 лет (28:2+6). И до сих пор счастлив (прошло более 40 лет). Кто знает, откуда пошло это поверие?

---

по-моему, прекрасный отрезок. надо оставлять даже самые бредовые идеи. википедия это же типа демократия. это можно написать более адекватным энциклопедическим языком. в конце концов, добавить новый подраздел. надо попробовать.Botev A. 23:01, 30 декабря 2006 (UTC)

возможно кем-то уже было замечено и описано, но нашел вот такую закономерность: Пифагор заметил, что „... любое чётное совершенное число равно сумме последовательных натуральных чисел, начиная с единицы “. Рассматривая данную закономерность (проверил только до 10 совершенного числа), заметил, что любое(?) Совершенное число = $\sum _{i=1}^{M}i$, где M - простое число Мерсенна...

может это очевидно - я не специалист 93.84.99.77 09:17, 24 апреля 2008 (UTC) by all_in (читайте внимательней, приведенная вами сумма и есть арифметическая прогрессия, о которой писал ed1936) ed1936@mail.ru

Опечатка

Народ, вы пишете 2^12 = 33550336, но это как-то не похоже на правду... Поясните, кто это пишет. 2^12 = 4096. Ну и что дальше? ed1936@mail.ru

Увлекся поиском этих самых совершенных чисел. Начал высчитывать. Нашел три - одно из них совпадает с уже имеющимися, два других нет, но проверял, они соответсвуют всем параметрам, сегодня еще раз буду досконально проверять. Виталий. vitalybelousov@rambler.ru