Овал Кассини

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Овалы Кассини (a=0.6c, 0.8c, c, 1.2c, 1.4c, 1.6c)

Овал Кассини — геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа $a$ .

Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии равном $2 a$ является Лемниската Бернулли. Сам овал является лемнискатой с двумя фокусами.

Кривая была придумана астрономом и инженером Кассини. Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли, чем эллипс^[1].

Хотя эту линию называют овалом Кассини, она не всегда овальна (см. ниже — Особенности формы).

[править] Уравнения

Расстояние между фокусами $2 c$ .

В прямоугольных координатах:

$\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$

Вывод

Фокусы —

F 1 ( - c;0)

и

F 2 (c;0)

. Возьмём произвольную точку

M (x; y)

, найдём расстояние от фокусов до неё и приравняем его к

a 2

:

$\textstyle \sqrt{(x+c)^2+y^2}\cdot\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2$

Возводим в квадрат обе части равенства:

$\textstyle \Big((x+c)^2+y^2\Big)\cdot\Big( (x-c)^2+y^2\Big)=a^4$

Раскрываем скобки в левой части:

$\textstyle (x^2-c^2)^2+y^4+2y^2(x^2+c^2)=a^4$

Раскрываем скобки, свёртываем новый квадрат суммы и выносим общий множитель:

$\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$

Явное уравнение в прямоугольных координатах:

$\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{a^4+4c^2x^2}-x^2-c^2}$

Вывод

$\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$

Возводим в квадрат и раскрываем скобки:

$\textstyle x^4+2x^{2}y^2+y^4-2c^{2}x^2-2c^{2}y^2=a^4-c^4$

Приводим к виду

$\textstyle y^4+2y^{2}(x^2+c^2)+x^4-2c^{2}x^2-a^4+c^4=0$

Это квадратное уравнение относительно $y 2$ . Решив его, получим

$\textstyle y^2=-(x^2+c^2)\pm\sqrt{a^4+2x^{2}c^2}$

Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:

$\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{a^4+4x^2 c^2}-x^2-c^2}$

где положитильный вариант определяет верхнюю половину кривой, отрицательный — нижнюю.

В полярной системе координат:

$\rho^4-2c^2\rho^2\cos{2\varphi}=a^4-c^4$

Вывод

$\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$

Используя формулы перехода к полярной системе координат $x=\rho\cos\varphi,\,y=\rho\sin\varphi,$ получим:

$\Big(\rho^2\cos^{2}\varphi+\rho^2\sin^{2}\varphi\Big)^2-2c^2\Big(\rho^2\cos^2\varphi-\rho^2\sin^2\varphi\Big)=a^4-c^4$

Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество $sin 2 α + cos 2 α = 1$ :

$\textstyle\rho^4-2c^2\rho^2(cos^2\varphi-\sin^2\varphi)=a^4-c^4$

Используем ещё одно тождество: $cos 2 α - sin 2 α = c o s 2α$ :

$\textstyle\rho^4-2c^2 \rho^2\cos 2\varphi=a^4-c^4$

[править] Особенности формы

Меняется параметр

a

Меняется параметр

c

В уравнении кривой содержатся два независимых параметра: $c$ — половина расстояния между фокусами и $a$ — произведение расстояний от фокусов до любой точки кривой. С точки зрения формы наиболее существенно отношение параметров, а не их величины, которые при неизменном отношении определяют лишь размер фигуры. Можно выделить шесть разновидностей формы в зависимости от величины отношения $\textstyle\frac{c}{a}$ :

$\textstyle\frac{c}{a}=\infty$ , то есть $\textstyle a=0$ при $\textstyle c\neq 0$ .

Кривая вырождается в две точки, которые совпадают с фокусами. При $c\to\infty$ форма кривой стремится к двум точкам.

$\textstyle 1<\frac{c}{a}<\infty$ , то есть $\textstyle 0<a<c$

Кривая распадается на два отдельных овала, каждый из которых вытянут в направлении другого и по форме напоминает яйцо.

$\textstyle\frac{c}{a}=1$ , то есть $\textstyle a=c$

Правая часть уравнения в прямоугольных координатах (см. выше) обращается в ноль, и кривая становится лемнискатой Бернулли.

$\textstyle \frac{1}{\sqrt{2}}<\frac{c}{a}<1$ , то есть $\textstyle c<a<c\sqrt{2}$

У кривой появляются четыре симметричные точки перегиба (по одной в каждой координатной четверти). Кривизна в точках пересечения с осью

O Y

стремится к нулю, когда

a

стремится к

c

и к бесконечности, когда

a

стремится к $c\sqrt{2}$ .

$\textstyle 0<\frac{c}{a}\leqslant\frac{1}{\sqrt{2}}$ , то есть $\textstyle a\geqslant c\sqrt{2}$

Кривая становится овалом, то есть выпуклой замкнутой кривой.

$\textstyle\frac{c}{a}=0$ , то есть $\textstyle c=0$ при $\textstyle a\neq 0$

По мере увеличения

a

(то есть стремления отношения $\textstyle\frac{c}{a}$ к нулю) кривая стремится к окружности радиуса

a

. Если

c = 0

, то отношение $\textstyle\frac{c}{a}$ достигает нуля, и в этом случае кривая вырождается в окружность.

[править] Свойства

Чёрная окружность — множество максимумов и минимумов; синяя лемниската — множество точек перегиба

Овал Кассини — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
Она симметрична относительно середины отрезка между фокусами.
При $0<a\leqslant c\sqrt{2}$ имеет два абсолютных максимума и два минимума:

$\begin{cases}x=\pm\frac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c} \\ y=\pm\frac{a^2}{2c}\end{cases}$

Геометрическое место точек абсолютных максимумов и минимумов — окружность радиуса

c

с центром в середине отрезка между фокусами.

При $c<a\leqslant c\sqrt{2}$ кривая имеет четыре точки перегиба. Их полярные координаты:

$\begin{cases}\rho=\sqrt[4]{\frac{a^4-c^4}{3}} \\ \cos 2\varphi =-\sqrt{\frac{1}{3}\left (\frac{a^4}{c^4}-1\right )}\end{cases}$

Геометрическое место точек перегиба — лемниската с вершинами $\left (0;\pm c\right )$ .

Радиус кривизны для представления в полярных координатах:

$R=\frac{a^2\rho}{\rho^2+c^2\cos{2\varphi}}=\frac{2a^2\rho^3}{c^4-a^4+3\rho^4}$

[править] См. также

[править] Литература

Математическая энциклопедия (в 5-и томах), Москва, «Советская Энциклопедия», 1982, т. 2 Д-Коо, стр. 759.
Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 стр.

[править] Примечания

↑ Космические овалы Кассини Е. Скляревский

[0] Космические овалы Кассини Е. Скляревский

[1]

п·о·р Кривые
Плоские кривые
Алгебраические
Конические сечения (2-й порядок)	Гипербола • Парабола • Эллипс (Окружность)
Эллиптические (3-й порядок)	Эллиптическая кривая • Функции Якоби • Интеграл • Функции
Лемнискаты (2n порядок)	Бернулли (Овал Кассини) • Бута • Жероно
Аппроксимационные кривые	Сплайны (B-сплайн · Кубический сплайн · Моносплайн · Сплайн Эрмита) • Кривая Безье
Другие (в скобках указан порядок)	Верзьера Аньези (3) • Декартов лист (3) • Полукубическая парабола (3) • Строфоида (3) • Циссоида Диокла (3)
Трансцендентные
Спирали	Архимедова (Ферма) • Гиперболическая • «Жезл» • Клотоида • Логарифмическая
Циклоидальные (порождённые катящейся окружностью)	Циклоида • Эпициклоида (Кардиоида · Нефроида) • Гипоциклоида (Дельтоида (кривая Штейнера) · Астроида) • Трохоида (Удлинённая циклоида · Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая эпициклоида · Укороченная эпициклоида · Улитка Паскаля · «Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Фрактальные	Кривая Коха • Кривая Леви • Кривая Минковского • Кривая Пеано • Топологически: салфетка и ковёр Серпинского, губка Менгера
Другие	Квадратриса • Кривая погони (Трактриса) • Трохоида • Цепная линия (перевёрнутая арочная) • Кривая Безье • Кривая постоянной ширины • Синусоида
Неплоские кривые
Винтовая линия • Линия откоса • Локсодрома • Ортодромия • Губка
Связанные понятия
Определения кривой	Аналитическая кривая • Кривая Жордана • Канторова кривая • Кривая Урысона
Преобразованные кривые	Эволюта • Эвольвента • Каустика

Овал Кассини

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Уравнения

[править] Особенности формы

[править] Свойства

[править] См. также

[править] Литература

[править] Примечания

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках