Овал Кассини

Овалы Кассини (a=0.6c, 0.8c, c, 1.2c, 1.4c, 1.6c)

Овал Кассини — геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа $a$.

Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии равном $2a$ является Лемниската Бернулли. Сам овал является лемнискатой с двумя фокусами.

Кривая была придумана астрономом Джовании Кассини. Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли, чем эллипс.

Хотя эту линию называют овалом Кассини, она не всегда овальна (см. ниже — Особенности формы).

Уравнения

Расстояние между фокусами $2c$.

• В прямоугольных координатах:

$\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$

Вывод

Фокусы — $F_1(-c;0)$ и $F_2(c;0)$. Возьмём произвольную точку $M(x;y)$, найдём расстояние от фокусов до неё и приравняем его к $a^2$: $\textstyle \sqrt{(x+c)^2+y^2}\cdot\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2$ Возводим в квадрат обе части равенства: $\textstyle \Big((x+c)^2+y^2\Big)\cdot\Big( (x-c)^2+y^2\Big)=a^4$ Раскрываем скобки в левой части: $\textstyle (x^2-c^2)^2+y^4+2y^2(x^2+c^2)=a^4$ Раскрываем скобки, свёртываем новый квадрат суммы и выносим общий множитель: $\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$

• Явное уравнение в прямоугольных координатах:

$\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{a^4+4c^2x^2}-x^2-c^2}$

Вывод

$\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$ Возводим в квадрат и раскрываем скобки: $\textstyle x^4+2x^{2}y^2+y^4-2c^{2}x^2+2c^{2}y^2=a^4-c^4$ Приводим к виду $\textstyle y^4+2y^{2}(x^2+c^2)+x^4-2c^{2}x^2-a^4+c^4=0$ Это квадратное уравнение относительно $y^2$. Решив его, получим $\textstyle y^2=-(x^2+c^2)\pm\sqrt{a^4+4x^{2}c^2}$ Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим: $\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{a^4+4x^2 c^2}-x^2-c^2}$ где положительный вариант определяет верхнюю половину кривой, отрицательный — нижнюю.

• В полярной системе координат:

$\rho^4-2c^2\rho^2\cos{2\varphi}=a^4-c^4$

Вывод

$\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$ Используя формулы перехода к полярной системе координат $x=\rho\cos\varphi,\,y=\rho\sin\varphi,$ получим: $\Big(\rho^2\cos^{2}\varphi+\rho^2\sin^{2}\varphi\Big)^2-2c^2\Big(\rho^2\cos^2\varphi-\rho^2\sin^2\varphi\Big)=a^4-c^4$ Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $\textstyle\rho^4-2c^2\rho^2(cos^2\varphi-\sin^2\varphi)=a^4-c^4$ Используем ещё одно тождество: $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = cos 2\alpha$: $\textstyle\rho^4-2c^2 \rho^2\cos 2\varphi=a^4-c^4$

Особенности формы

Меняется параметр $a$

Меняется параметр $c$

В уравнении кривой содержатся два независимых параметра: $c$ — половина расстояния между фокусами и $a$ — произведение расстояний от фокусов до любой точки кривой. С точки зрения формы наиболее существенно отношение параметров, а не их величины, которые при неизменном отношении определяют лишь размер фигуры. Можно выделить шесть разновидностей формы в зависимости от величины отношения $\textstyle\frac{c}{a}$:

• $\textstyle\frac{c}{a}=\infty$, то есть $\textstyle a=0$ при $\textstyle c\neq 0$.

Кривая вырождается в две точки, которые совпадают с фокусами. При $c\to\infty$ форма кривой стремится к двум точкам.

• $\textstyle 1<\frac{c}{a}<\infty$, то есть $\textstyle 0<a<c$

Кривая распадается на два отдельных овала, каждый из которых вытянут в направлении другого и по форме напоминает яйцо.

• $\textstyle\frac{c}{a}=1$, то есть $\textstyle a=c$

Правая часть уравнения в прямоугольных координатах (см. выше) обращается в ноль, и кривая становится лемнискатой Бернулли.

• $\textstyle \frac{1}{\sqrt{2}}<\frac{c}{a}<1$, то есть $\textstyle c<a<c\sqrt{2}$

У кривой появляются четыре симметричные точки перегиба (по одной в каждой координатной четверти). Кривизна в точках пересечения с осью $OY$ стремится к нулю, когда $a$ стремится к $c$ и к бесконечности, когда $a$ стремится к $c\sqrt{2}$.

• $\textstyle 0<\frac{c}{a}\leqslant\frac{1}{\sqrt{2}}$, то есть $\textstyle a\geqslant c\sqrt{2}$

Кривая становится овалом, то есть выпуклой замкнутой кривой.

• $\textstyle\frac{c}{a}=0$, то есть $\textstyle c=0$ при $\textstyle a\neq 0$

По мере увеличения $a$ (то есть стремления отношения $\textstyle\frac{c}{a}$ к нулю) кривая стремится к окружности радиуса $a$. Если $c=0$, то отношение $\textstyle\frac{c}{a}$ достигает нуля, и в этом случае кривая вырождается в окружность.

Свойства

Чёрная окружность — множество максимумов и минимумов; синяя лемниската — множество точек перегиба

• Овал Кассини — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
• Она симметрична относительно середины отрезка между фокусами.
• При $0<a< c\sqrt{2}$ имеет два абсолютных максимума и два минимума:

$\begin{cases}x=\pm\frac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c} \\ y=\pm\frac{a^2}{2c}\end{cases}$

Геометрическое место точек абсолютных максимумов и минимумов — окружность радиуса $c$ с центром в середине отрезка между фокусами.

• При $c<a\leqslant c\sqrt{2}$ кривая имеет четыре точки перегиба. Их полярные координаты:

$\begin{cases}\rho=\sqrt[4]{\frac{a^4-c^4}{3}} \\ \cos 2\varphi =-\sqrt{\frac{1}{3}\left (\frac{a^4}{c^4}-1\right )}\end{cases}$

Геометрическое место точек перегиба — лемниската с вершинами $\left (0;\pm c\right )$.

• Радиус кривизны для представления в полярных координатах:

$R=\frac{a^2\rho}{\rho^2+c^2\cos{2\varphi}}=\frac{2a^2\rho^3}{c^4-a^4+3\rho^4}$

См. также

• Лемниската Бута
• Лемниската Бернулли
• Плоская кривая
• Алгебраическая кривая
• Многофокусная алгебраическая кривая
• Овал Декарта

Литература

• Математическая энциклопедия (в 5-и томах), Москва, «Советская Энциклопедия», 1982, т. 2 Д-Коо, стр. 759.
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 стр.