Однородное дифференциальное уравнение

Существует два понятия однородности дифференциальных уравнений.

Однородность по аргументу

Обыкновенное уравнение первого порядка $y'=f(x,y)$ называется однородным относительно x и y, если функция $f(x,y)$ является однородной степени 0:

$f(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{0}f(x,y)=f(x,y)$.

Однородную функцию можно представить как функцию от ${\frac {y}{x}}$:

$\ f(x,y)=f\left(1,{\frac {y}{x}}\right)=g\left({\frac {y}{x}}\right)$.

Используем подстановку ${\frac {y}{x}}=u$, а затем воспользуемся правилом произведения: ${\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u$. Тогда дифференциальное уравнение $y'=f(x,y)$ сводится к уравнению с разделяющимися переменными:

$u'x+u=g(u)\Rightarrow {\frac {du}{u-g(u)}}+{\frac {dx}{x}}=0$.

Однородность по правой части

Дифференциальное уравнение является однородным, если оно не содержит свободного члена — слагаемого, не зависящего от неизвестной функции. Так, можно говорить, что уравнение $F(y,y',y'',\ldots )=G(x)$ — однородно, если $G(x)\equiv 0$.

В случае, если $G(x)\neq 0$, говорят о неоднородном дифференциальном уравнении.

Именно для решения линейных однородных дифференциальных уравнений была построена целая теория, чему способствовало выполнение у них принципа суперпозиции.

См. также

• Однородная функция
• Однородное уравнение
• Уравнение, приводящее к однородному