Однородное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Однородное пространство — множество M вместе с заданным на нём транзитивным действием некоторой группы G. Элементы множества M называются точками однородного пространства, группа Gгруппой движений, или основной группой однородного пространства.

Любая точка x однородного пространства M определяет подгруппу

G_x=\{g\in G|gx=x\}

основной группы G. Она называется группой изотропии, или стационарной подгруппой, или стабилизатором точки x. Стабилизаторы разных точек сопряжены в группе G с помощью внутренних автоморфизмов.

С произвольной подгруппой H группы G связано некоторое однородное пространство группы G — множество M=G/H левых классов смежности группы G по подгруппе H, на котором G действует по формуле

g(aH) = (ga)H, g,a\in G.

Это однородное пространство называется факторпространством группы G по подгруппе H, а подгруппа H оказывается стабилизатором точки eH=H этого пространства (e — единица группы G). Любое однородное пространство M группы G можно отождествить с факторпространством группы G по подгруппе H=G_x, являющейся стабилизатором фиксированной точки x\in M.

Если группа G является топологической группой, а H — её подгруппой (в частности если Gгруппа Ли, а H — замкнутая подгруппа в G), то факторпространство M=G/H каноническим образом снабжается структурой топологического пространства (соответственно структурой аналитического многообразия), относительно которой действие группы G на M является непрерывным (соответственно аналитическим). Если группа Ли G транзитивно и аналитически действует на аналитическом многообразии M, то для любой точки x\in M подгруппа H=G_x замкнута и указанная выше биекция аналитична; если при этом число связных компонент группы G не более чем счётно, то эта биекция является диффеоморфизмом.