Однородные координаты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Однородные координаты ― координаты, обладающие тем свойством, что определяемый ими объект не меняется при умножении всех координат на одно и то же ненулевое число.

Введены Плюккером в качестве аналитического подхода к принципу двойственности Жергонна — Понселе.

Проективная геометрия[править | править вики-текст]

Проективная плоскость обычно определяется как множество прямых в \mathbb R^3, проходящих через начало координат. Любая такая прямая однозначно определяется точкой, не совпадающей с началом координат 0. Пусть данная прямая проходит через точку с координатами (a,b,c), тогда однородные координаты соответствующей точки на проективной плоскости — это тройка чисел (x_1:x_2:x_3), определённая с точностью до пропорциональности и такая, что все три координаты одновременно не могут быть равны нулю.[1] Например, (0:1:1)=(0:2:2).

От однородных координат к аффинным можно перейти следующим образом: в трёхмерном пространстве можно провести плоскость, не проходящую через начало координат; тогда проходящая через начало координат прямая либо параллельна этой плоскости (в этом случае точка называется «бесконечно удалённой»), либо пересекает её в единственной точке, тогда ей можно сопоставить координаты этой точки на плоскости. Например, в пространстве с координатами (x_1,x_2,x_3) проведём плоскость x_3=1. Тогда точке с однородными координатами (a:b:c), если c\neq 0, соответствует точка на плоскости с координатами (a/c,b/c). Обратно, точка с аффинными координатами (a,b) в однородных координатах запишется как (a:b:1).

Прямые на проективной плоскости — это плоскости в трёхмерном пространстве, проходящие через начало координат. Такую плоскость можно задать уравнением a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0. Нетрудно заметить, что при умножении a_1,a_2,a_3 на одно и то же число плоскость, задаваемая уравнением, не изменится. Это значит, что каждой плоскости соответствуют однородные координаты (a_1:a_2:a_3). Точке, записанной в однородных координатах, можно сопоставить прямую, которая в однородных координатах записывается так же. Таким образом, прямые на проективной плоскости образуют «вторую проективную плоскость», в этом и заключается принцип проективной двойственности.

Примеры[править | править вики-текст]

Источники[править | править вики-текст]

  1. Прасолов В. В., Тихомиров В. Н. Геометрия. — М.: МЦНМО, 2007.