Односторонний предел

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Односторо́нний преде́л в математическом анализепредел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).

Определения[править | править вики-текст]

Пусть на некотором числовом множестве M \in \R задана числовая функция f \colon M \to \R и число ~aпредельная точка области определения ~M. Существуют различные определения для односторонних пределов функции ~f \left( x \right) в точке ~a, но все они эквивалентны.

Односторонний предел по Гейне[править | править вики-текст]

  • Число A \in \R называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции ~f \left( x \right) в точке ~a, если для всякой последовательности \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}, состоящей из точек, больших числа ~a, которая сама сходится к числу ~a, соответствующая последовательность значений функции \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty} сходится к числу ~A.
    \lim_{x \to a+0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \colon \left( \forall k \in \N \colon x_k > a \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = a \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty} = A
  • Число A \in \R называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции ~f \left( x \right) в точке ~a, если для всякой последовательности \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}, состоящей из точек, меньших числа ~a, которая сама сходится к числу ~a, соответствующая последовательность значений функции \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty} сходится к числу ~A.[1]
    \lim_{x \to a-0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \colon \left( \forall k \in \N \colon x_k < a \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = a \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty} = A

Односторонний предел по Коши[править | править вики-текст]

  • Число A \in \R называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции ~f \left( x \right) в точке ~a, если для всякого положительного числа ~\varepsilon отыщется отвечающее ему положительное число ~\delta такое, что для всех точек ~x из интервала \left( a, a + \delta \right) справедливо неравенство \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon.
    \lim_{x \to a+0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0 ~ \forall x \in \left( a, a + \delta \right) \colon \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon
  • Число A \in \R называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции ~f \left( x \right) в точке ~a, если для всякого положительного числа ~\varepsilon отыщется отвечающее ему положительное число ~\delta, такое, что для всех точек ~x из интервала \left( a - \delta, a \right) справедливо неравенство \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon.[1]
    \lim_{x \to a-0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0 ~ \forall x \in \left( a - \delta, a \right) \colon \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon

Односторонний предел как предел вдоль фильтра[править | править вики-текст]

Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть M \subset \mathbb{R}, и a \in M'. Тогда системы множеств

\mathfrak{B}_+ = \{ (a, a + \delta) \cap M \mid \delta > 0 \}

и

\mathfrak{B}_- = \{ (a - \delta, a) \cap M \mid \delta > 0 \}

являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:

\lim\limits_{\mathfrak{B}_+} f(x) \equiv \lim\limits_{x\to a+}f(x);
\lim\limits_{\mathfrak{B}_-} f(x) \equiv \lim\limits_{x\to a-}f(x).

Обозначения[править | править вики-текст]

  • Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:
    \lim\limits_{x\to a+}f(x),\ \ \lim\limits_{x\to a+0}f(x),\ \ \lim_{x \downarrow a} f(x),\ \  \lim_{x \searrow a} f(x);
  • Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:
    \lim\limits_{x\to a-}f(x),\ \ \lim\limits_{x\to a-0}f(x),\ \ \lim_{x \uparrow a} f(x),\ \  \lim_{x \nearrow a} f(x).
  • При этом используются также сокращённые обозначения:
    • f \left( a+ \right) и f \left( a + 0 \right) для правого предела;
    • f \left( a- \right) и f \left( a - 0 \right) для левого предела.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
  • Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.[1]

Примеры[править | править вики-текст]

Функция из второго примера
  • Тождественная числовая функция
    • f \left( x \right) = x
    • Область определения: \R
    • Правый предел: \forall a \in \R \colon \lim_{x \to a + 0} x = a
    • Левый предел: \forall a \in \R \colon \lim_{x \to a - 0} x = a
    • Правый и левый пределы совпадают, так что имеется обычный предел: \forall a \in \R \colon \lim_{x \to a} x = a
  • Кусочно-заданная функция
    • f \left( x \right) = \begin{cases} x^2, & x < 3 \\ 11 - \left( x - 3 \right)^2, & x > 3 \end{cases}
    • Область определения: \R \setminus \left\{ 3 \right\}
    • Правый предел: \lim_{x \to 3 + 0} f \left( x \right) = 11
    • Левый предел: \lim_{ x \to 3 - 0} f \left( x \right) = 9
    • Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке ~x=3 не существует
  • Функция sgn(x)
    • f \left( x \right) = \begin{cases} 0, & x = 0 \\ \frac{x}{\left| x \right|}, & x \neq 0 \end{cases}
    • Область определения: \R
    • Правый предел: \lim_{x \to 0 + 0} \sgn \left( x \right) = +1
    • Левый предел: \lim_{ x \to 0 - 0} \sgn \left( x \right) = -1
    • Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке ~x=0 не существует

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105 — 121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7